서론
수학에서 오류는 학습을 할 때 종종 최대한 피해야 할 부정적 요소로 여겨지지만(Park, 2008), 수학사에서는 수학 발전의 원동력이 되기도 한다(Lee, 2002). 또한, 수학에서 오류는 전문가가 구조화한 교육과정과 학생 특성의 간극에서 발생하는 필연적 결과로 볼 수 있다(Kim, 2009). 이러한 오류는 학생들의 직관적인 문제해결 과정이나 단순한 실수나 잘못으로 나타난다(Lee & Park, 2001; Park, 2008). 그러나 학생의 수학 학습에서 나타나는 오류는 환경, 교육과정, 교사뿐 아니라 각 요소의 상호작용으로 나타나는 복합적 과정이자 결과이므로 오류의 원인을 명확히 밝히기는 쉽지 않다(Radatz, 1979). 이러한 어려움으로 인해 국내·외에서 오류에 관한 연구는 지속적으로 진행되어 왔고, 선행연구는 오류를 분류(Kim, 2005a) 하거나 오류를 교수·학습 방법으로 적용하는 형태로 전개되었다.
오류 분류에 관한 연구는 학생에게 나타나는 오류의 유형과 그 원인을 분석하여 범주화하는 데 그 목적이 있다. 이러한 연구는 특정한 수학적 내용에 국한되지 않고 오류에 관한 일반적 유형이나(Clements, 1980; Kim, 2005b; Movshovitz-Hadar et al., 1987; Newman, 1997; Radatz, 1979) 방정식, 함수 등과 같이 특정한 수학 내용에서 나타나는 오류를 보고하였다(Jo & Ko, 2015; Kim, 2001; Park, 2008; Park et al., 2012). 이러한 연구는 과제, 서술형 시험과 같은 특수한 상황에서 나타나는 다양한 학생의 오류를 범주화함으로써 공통적인 분류기준을 도출하였다는 점에서 가치가 있다. 다만 오류 분류 연구는 암묵적으로 오류를 교정의 관점에서 조망하고 있으며, 이를 활용한 구체적 교수·학습 방법을 제시하지 못한다는 점에서 한계가 있다.
오류 분류 연구와는 달리 오류를 학습 과정에 나타나는 과정으로 조망하고, 교수·학습 방법의 하나로 활용한 연구도 있다. 이러한 연구는 자신이 작성한 답안의 오류 원인을 스스로 판단하는 자기평가의 효과(Hwang & Kim, 2014; Kim, 2009, 2011), 또는 다른 학생의 풀이에 나타난 오류를 발견하고 수정하는 과정을 보고하였다(Kim, 2019; Lee & Kim, 2006; Lim & Choi, 2016). 이와 같은 연구는 학생들이 오류를 발견하고 분석하며 수정하는 과정에 주안점을 두기보다는 결과적으로 문제해결력 향상 (Kim, 2019; Hwang & Kim, 2014), 학업성취도(Kim, 2009, 2011; Lim & Choi, 2016) 및 정의적 영역(Kim, 2019; Hwang, 2014) 측면에서 유의미한 차이가 있음을 밝혔다는 점에서 그 가치가 있다. 다만 교수·학습 방법에서 오류를 활용할 때, 교사의 세심한 안내와 지도를 강조하고 있다는 점(Hwang & Kim, 2014; Jo & Ko, 2015)에서 이를 구체화할 필요가 있다.
이러한 필요성을 토대로 본 연구는 특정한 수학적 개념의 오류 찾기 활동에서 학생의 인식과 교사 지도 방안을 통합적으로 살펴보고자 한다. 이러한 목적을 달성하기 위해 선정한 수학적 개념은 무리수 개념이다. 그 이유는 무리수가 유리수와 달리 학생들이 학습에서 어려움을 겪는 개념이며(Lee, 2013), 문제해결에서 다양한 오류가 나타나기 때문이다(Park et al., 2004). 특히, 무리수 개념은 표상에 따라 강조되거나 드러나는 고유한 특징이 있다는 점에서(Choi & Kang, 2016) 학생들의 개념 이해를 파악함에 있어 표상이 하나의 기준이 될 수 있다(Kang, 2016).
따라서 본 연구의 목적은 무리수 개념의 오류 찾기 활동에서 표상에 따른 학생들의 인식과 학생들의 오류 활용 방법(학습 태도와 수학적 담론 수준 측면에서)에 변화를 촉발하는 교사의 발문 전략을 탐색하는 데 있다. 이를 위해 무리수 표상에 따른 수학 오류 찾기 활동을 개발하고 적용한 뒤, 학생들이 작성한 활동지, 모둠 활동 전사자료, 추가 면담 전사자료 등을 수집하여 분석하였다. 본 연구를 통하여 무리수 개념에 관한 학생 인식을 제공하고 교사 발문 전략의 구체적 예시를 제안하고자 한다. 나아가 교수·학습 방법으로 오류 활용의 유용성이 확산되기를 기대한다. 이를 위해 다음과 같은 연구문제를 설정하였다.
연구문제 1. 수학 오류 찾기 개별 활동에서 나타나는 학생들의 무리수 개념(기호 표상, 비분수와 소수 표상, 도형과 수직선 표상)에 대한 인식은 어떠한가?
연구문제 2. 수학 오류 찾기 모둠 활동에서 학생들의 오류 활용 방법(학습 태도와 수학적 담론 수준 측면에서)의 변화를 위한 교사의 발문 전략은 무엇인가?
이론적 배경
수학 수업에서 오류의 활용
오류에 관한 연구들의 목적은 궁극적으로 학생 오류를 발견하고 분석하여 교수·학습 활동의 변화를 위한 정보를 제공함으로써 활용 방안을 모색하는 데 있다(Jo & Ko, 2015). 예를 들어, Newman (1977)은 학생의 서술형 문제 풀이 과정을 읽기, 이해, 변환, 절차적 기술, 부호화 단계로 제시함으로써 교사들이 학생의 오류가 어떠한 단계에서 발생할 수 있는 가를 분석할 수 있는 기준을 제시하고자 하였다. 유사하게, Borasi (1996)는 수학 수업에서 학습 목표와 교사가 학생들에게 제공하고자 하는 학습 기회에 따라 오류 활용 방법이 달라질 수 있다고 제안하였으며, 이러한 오류 활용 방법은 학습 태도와 수학적 담론 수준에 따라 결정된다고 설명하였다.
학습 태도는 수학적 내용과는 독립적으로 학습의 맥락적 특성이나 수업의 개방 정도에 따라 영향을 받는 요소로 교정적 태도, 발견적 태도, 탐구적 태도로 구분할 수 있다(Borasi, 1996). 첫째, 교정적 태도는 오류를 분석하며 잘못된 부분을 찾고 고칠 때 발생하며, 오류 활동에 관한 질문과 답변은 사전에 모두 교사에 의해 결정된다. 둘째, 발견적 태도는 새로운 내용을 학습하거나 문제 상황을 해결하고자 할 때 발생하며, 결과가 불확실하기 때문에 단계별 결과를 비판적으로 사고해야 할 필요가 있다. 셋째, 탐구적 태도는 오류로 인해 완전히 새로운 방향으로 성찰하거나 학생이 도전하고자 할 때 발생하며, 문제 상황을 재정의하거나 문제 해결의 특정 단계로 회귀 또한 권장된다.
수학적 담론 수준은 수학적 내용에서 학생이 주목하고 있는 부분을 의미하는 요소로 특정한 수학 과제 수행하기(Task), 수학적으로 기술된 내용 이해하기(Content), 수학의 본질 이해하기(Mathematics)로 구분할 수 있다(Borasi, 1996). 첫째, 특정한 수학 과제 수행하기는 제시된 과제에 나타난 오류를 찾고 수정하는 과정에 학생들이 참여하는 수준이다. 둘째, 수학적으로 기술된 내용 이해하기는 제시된 과제에서 보이는 오류를 분석하며 관련한 수학적 성질이나 관계를 논의하는 데 학생들이 참여하는 수준이다. 셋째, 수학의 본질 이해하기는 제시된 과제의 오류를 통해 수학적 정의나 개념이 무엇인지 논의하는 데 학생들이 참여하는 수준이다.
수학 수업에서 오류를 활용한 국내 선행연구를 Bosari (1996)의 기준으로 정리해보면 Table 1과 같이 요약될 수 있다. 수학 수업에 오류를 활용하였다는 공통점 외의 연구 목적이나 방법이 상이하다는 점에서 이러한 분류 방식은 국내 선행연구에서 조망되지 않은 수학 수업의 오류 활용 방법을 모색하는데 그 목적이 있다.
요약하면, 국내 선행연구에서는 발견적 태도와 탐구적 태도로 접근한 하나의 연구(Kim, 2009)를 제외하고는 대부분 교정적 태도로 오류를 한정하고 있으며, 주로 양적 연구로 오류 활동의 결과를 보고하였다는 데 한계가 있다. 이러한 한계를 극복하고자 본 연구에서는 학생들이 제시된 과제에 나타난 오류를 찾아 교정하는 것에서 나아가 교사의 발문을 통해 발견적 태도나 탐구적 태도로 확장될 수 있는가에 주안점을 두고자 한다.
교사의 발문 전략
수학 수업에서 교사의 발문은 과제나 환경과 더불어 학생 학습에 주요하게 여겨지는 요소이다(Artzt et al., 2015; NCTM, 2007). 특히, 본 연구에서 교사 발문에 주안점을 둔 이유는 궁극적으로 학생에게 학습 기회를 부여하는 방식이 교사의 담론에 의존적이기 때문이다(Alder & Ronda, 2019). 선행연구에서도 교사의 효과적인 발문 전략을 규명하고자 시도하였다(Boaler & Brodie, 2004; Cho et al., 2016; Choi et al., 2016a; Frank et al., 2009).
교사 발문에 따라 교실 환경 조성에 큰 차이가 있음을 통찰한 Boaler와 Brodie (2004)는 수학 교사가 활용할 수 있는 아홉 가지 범주의 발문 유형을 제시하였다. 첫째, 정보를 수집하고 풀이 절차를 물어보는 발문은 학생이 즉각적으로 답을 말하거나 사실과 풀이를 언급할 수 있도록 요구한다. 둘째, 수학 용어를 물어보는 발문은 학생이 자신의 아이디어를 표현할 때 올바른 수학 용어를 사용할 수 있도록 한다. 셋째, 수학적 의미와 관계를 탐구하는 발문은 학생이 내포된 수학적 의미와 관계를 포착하고 아이디어와 표상을 연결할 수 있도록 한다. 넷째, 자신의 생각을 조사하고 설명하게 하는 발문은 학생이 자신의 아이디어를 설명함에 있어 보다 명확하고 정교하게 구체화할 수 있도록 요청한다. 다섯째, 논의를 생성하는 발문은 교실 내 다른 구성원의 의견도 물어보아 논의에 참여할 수 있도록 한다. 여섯째, 연결과 적용을 위한 발문은 수학적 아이디어를 수학 내외 영역에 연결할 수 있도록 한다. 일곱째, 사고를 확장하는 발문은 수학적 아이디어를 유사한 아이디어가 활용되는 다른 수학적 상황에 확장할 수 있도록 한다. 여덟째, 방향 설정과 집중을 위한 발문은 문제 해결의 핵심 요소와 상황에 초점을 맞출 수 있도록 돕는다. 아홉째, 맥락 설정을 위한 발문은 수학과 수학 밖의 세상을 연결할 수 있는 맥락을 제공한다.
수학 수업에서 교사가 특정한 과제에 관한 학생들의 아이디어를 토대로 의사소통하기 위해 사용하는 발문을 범주화한 Frank 외 (2009)는 네 가지 범주의 유형을 제시하였다. 첫째, 구체적 질문은 학생이 설명한 수학적 내용에서 특정한 부분에 관련한 질문으로, 모호하거나 불완전한 설명을 명확히 하고자 할 때 사용할 수 있다. 구체적 질문은 학생이 주목하지 못한 문제의 다른 중요 요소를 고려할 수 있도록 돕기도 한다. 둘째, 일반적 질문은 학생이 설명한 수학적 내용과 관련되지 않은 질문으로, 종종 학생들에게 주어진 설명을 반복하길 요구한다. 이러한 요구는 때에 따라 명시적으로 한 번 더 말해 줄 수 있냐고 하거나 암묵적으로 무엇을 하였냐고 말할 수 있다(Frank et al., 2009). 셋째, 유도적 질문은 교사가 학생들에게 특정한 답변이나 설명을 유도하는 것으로, 주로 학생들이 집중하기 원하는 문제의 측면을 포함한다. 유도적 질문은 학생들에게 더 자세한 설명을 하도록 하지만 교사가 대부분의 주요한 설명을 진행하는 양상을 띈다(Frank et al., 2009). 넷째, 면밀한 조사를 위해 이어지는 질문은 학생이 말한 특정한 내용에 대해 두 개 이상 관련된 질문으로, 학생이 초기에 설명한 내용을 보다 정교하고 명확하게 할 수 있도록 기회를 제공한다.
수학 오류 찾기 모둠 활동에서 학생들의 오류 활용 방법의 변화를 위한 교사 담론에서 발문 전략들을 분석하고 범주화하기 위해 Boaler와 Brodie (2004)가 제시한 수학 교사가 사용하는 아홉 가지 구체적 발문 유형과 Franke 외 (2009)는 제안한 학생의 수학적 사고와 설명을 이끌어낼 수 있는 교사의 발문 유형을 통합하여 분석틀을 개발하였다(Table 5 참조). Boaler와 Brodie (2004)의 아홉 가지 구체적 발문 유형은 교사의 발문 유형의 명시성을 제공하는 반면, Franke 외 (2009)의 발문 유형 범주는 학생들의 사고 방향성과 연관된 실용적 이해를 돕는다고 볼 수 있다. 따라서 두 가지를 통합한 교사 발문 유형의 분석틀을 통해 발문 분석에 대한 좀 더 명시적이고 실행가능한 방향성을 제시하고자 하였다.
연구 방법
연구 대상
무리수 개념에 대한 학생 인식 및 교사의 발문 전략을 분석하기 위해 실수 단원을 학습한 중학교 3학년 학생들과 담당 교사를 연구 대상으로 선정하였다. 연구 대상은 경기도 소재 예술계 학교인 K중학교 3학년 전체 학생 133명으로 총 네 개 반으로 나뉘어 있다. 연구에 참여한 교사는 서술형 평가 문항 개발의 일환으로 오류 찾기 활동을 지속적으로 개발하고 적용해 온 교직경력 12년의 교사이다.
수학 오류 찾기 활동
본 연구의 수학 오류 찾기 활동은 개별 활동과 모둠 활동, 총 2차시로 설계하였다. 개별 활동은 학생들에게 문항별 오류와 원인을 수학 교과서나 필기를 참고하여 개별적으로 찾아보도록 하였다. 모둠 활동은 학생들에게 무작위로 구성된 모둠에서 지난 시간 작성한 개별 활동지를 토대로 논의하도록 하였다. 이때, 논의의 주안점은 개별 활동에 발견하지 못하였던 오류를 새롭게 발견하였거나 오류와 관련하여 새롭게 알게 된 수학적 개념이나 내용이 무엇인가이다.
수학 오류 찾기 개별 활동을 위하여 선행연구(Choe et al., 2013; Kang & Choi, 2017)를 토대로 무리수 개념의 기호 표상, 비분수와 소수 표상, 도형과 수직선 표상에 관한 대표적 오류를 Figure 1과 같이 제시하였다. 첫째, 무리수 개념의 기호 표상에서는 근호를 사용한 모든 수를 무리수로 인식하거나 무리수 개념의 표현이 근호를 사용한 기호 표상에만 집중되는 오류에 주목하였다. 이러한 오류를 확인하기 위하여 Kang과 Choi (2017)의 학생 오류 답안을 토대로 근호를 사용한 모든 수를 무리수로 인식하는지 분석할 수 있도록 √48/3을 추가하여 재구성하였다. 둘째, 무리수 개념의 분수와 소수 표상에서는 특정 분수의 값을 계산기와 같이 제한적인 소수로 나타나는 상황에서 무리수로 판단하는 오류에 주목하였다. 이를 위해 Kang과 Choi (2017)가 제시한 53/83을 계산기에 제한된 소수 표상으로 나타냈을 때, 학생 오류 답안을 별도의 수정없이 사용하였다. 셋째, 무리수 개념의 도형과 수직선 표상에서는 무리수는 수직선 위에 존재하지 않는다거나 특정 도형의 형태로 나타낼 수 없다는 오류에 주목하였다. 이를 위해 Choe 외 (2013)에서 실수와 수직선의 일대일 대응을 주제로 개발한 만화 자료의 마지막 장면 대사를 ‘게다가 √2, π를 도형으로 나타낼 수 있다니…!’로 수정하여 재구성하였다. 학생들에게는 예시 답안에서 오류와 그 원인을 서술하고 올바른 답을 제시하도록 하였으며,√2와 π는 별도로 도형과 수직선 표상으로 나타내도록 하였다.
수학 오류 찾기 모둠 활동을 위하여 Borasi (1987)가 제시한 오류 상황에서 일반적으로 활용할 수 있는 질문 목록을 토대로 학생의 수학적 사고를 반성할 수 있는 질문을 제시하였다. 우선적으로 모둠 활동의 논의를 통하여 개별 활동 답안이 변화하였는지 여부에 따라 학생이 반성할 질문을 각기 다르게 구성하였다. 변화가 있다고 응답한 학생에게는 개별 활동 답안에서 수정한 내용과 그 이유를 답하도록 하였으며, 변화가 없다고 응답한 학생에게는 동료 학생들에게 자신의 의견을 설명할 때에 사용한 수학적 근거를 답하도록 하였다. 이후 변화 여부와 관계없이 모둠 활동의 논의를 통해 새롭게 알게 된 수학적 내용이 있는지를 답하도록 하였다.
자료 수집
본 연구에서는 수학 오류 찾기 개별 활동지와 수학 오류 찾기 모둠 활동지를 수집하였다. 특히, 수학 오류 찾기 모둠 활동에서는 학생들의 담론을 분석해야 할 필요가 있기에 각 학급에 두 모둠을 선택하여 총 9개 모둠의 활동을 녹화하였다. 9개 모둠에서 개별 활동과 비교하였을 때 모둠 활동을 통해 무리수 개념의 인식의 변화가 명확히 드러나거나 서로 다른 개별 활동 응답을 토대로 논의를 전개한 두 모둠을 분석 대상으로 선정하여 녹화 자료를 전사하였다. 특히, 개별 활동에서 서로 다른 응답을 토대로 논의하였던 모둠에서 적극적으로 참여하였던 학생 2인을 추가 면담하였으며, 약 40분간 진행한 면담 자료는 녹화 형태로 수집하여 전사하였다.
전사 자료는 순서, 화자, 전사 내용으로 작성하였다. 순서에는 번호를 제시하기 앞서 분석 대상이 된 모둠을 각각 G1, G2로 구분하였다. 특히, 전사 자료가 모둠 활동에서 수집한 자료와 추가 면담에서 수집한 자료가 있으므로 G2의 두 학생이 추가 면담한 자료는 순서에 IG2로 구별하였다. 화자는 G1은 6명의 구성원이 있어 S1~S6으로, G2는 4명의 구성원이 있어 S1~S4로, 교사는 T로 제시하였다. 이때, 모둠 구성원 전체가 합창하듯 응답하는 경우에는 Ss로 나타내어 구별하였다.
자료 분석
연구문제1을 해결하기 위하여 학생 133명을 대상으로 수집한 수학 오류 찾기 개별 활동지를 두 가지 기준으로 분석하였다. 하나는 학생이 예시 답안에서 오류와 근거를 찾을 수 있는가이고, 다른 하나는 찾은 오류를 올바른 답으로 제시할 수 있는가이다. 이때, 학생이 올바른 답으로 제시할 수 있는지 여부는 자신이 찾은 오류의 근거를 구체적으로 수정할 수 있는가를 구체화하기 위한 기준으로 설정하였다. 즉, 주안점은 예시 답안에서 학생이 찾은 오류와 그 근거로, Table 2의 내용분석 기준표를 통해 분석하였다. 이와 같은 분석은 무리수 개념의 표상에 따른 학생 인식, 즉 연구문제1의 결과를 도출하는 근거일 뿐 아니라 연구문제2에서 각 학생의 학습 태도와 수학적 담론 수준을 판단하는 기준이 된다.
연구문제2를 해결하기 위하여 수집한 수학 오류 찾기 모둠 활동지, 모둠 활동 전사자료, 추가 면담 전사자료를 세 단계에 거쳐 분석하였다. 첫째, 수학 오류 찾기 모둠 활동지와 수학 오류 찾기 개별 활동지를 비교하여 모둠 활동에서 나타난 무리수 개념의 표상에 따른 인식 변화를 살펴보고자 하였다. 이때, Kang과 Choi (2017)를 토대로 모둠 활동지 내용의 분석 기준을 Table 3과 같이 마련하였다.
둘째, 모둠 활동 전사자료와 추가 면담 전사자료에서 무리수 개념의 학생 변화를 면밀히 살펴보고자 오류에 관한 학습 태도와 수학적 담론 수준을 분석하였다. 모둠 활동의 학생들에게 나타난 오류에 관한 학습 태도와 수학적 담론 수준은 Borasi (1996)를 재구성한 Table 4를 기준으로 분석하였다. 학습 태도의 교정(Remediation)은 R, 발견(Discovery)는 D, 탐구(Inquiry)는 I로 코딩하였고, Borasi (1996)가 제시한 특정한 수학적 과제를 수행하기는 과제(Task)의 T, 수학적으로 기술된 내용을 이해하기는 내용(Content)의 C, 수학의 본질 이해하기는 수학(Mathematics)의 M으로 코딩하였다. 즉, 세 가지 학습 태도와 세 가지 수학적 담론 수준에 따라 총 아홉 개의 범주에 따라 분석 기준을 설정하였다.
셋째, 모둠 활동 전사자료와 추가 면담 전사자료에서 무리수 개념에 대한 학생의 담론 변화가 나타난 에피소드의 교사 발문 전략을 분석하였다. 이를 위해 Boaler와 Brodie (2004)가 제시한 수학 교사가 사용하는 발문 유형과 Franke 외 (2009)의 학생의 수학적 사고와 설명을 이끌어낼 수 있는 교사의 발문 유형을 토대로 Table 5와 같은 분석틀을 마련하였다. 이때, Boaler와 Brodie (2004)의 1번에서 3번 유형은 구체적 발문, 4번과 5번 유형은 일반적 발문, 7번에서 9번 유형은 유도적 발문으로 분류하였으며, Frank 외 (2009)의 면밀한 조사를 위해 질문을 확장하는 탐구적(exploring) 발문으로 10번 유형으로 생성하였다. 탐구적 발문과 대조적으로 논의나 탐구를 결론짓는 질문을 선언적(declarative) 발문으로 11번 유형으로 생성하였다. 교사 발문을 코딩하는 과정에서 분석의 신뢰성과 타당성을 위해 현직 교사, 대학원생, 수학교육전문가 3인이 함께 검토하고 분석하였다. 본 연구에서는 학생의 학습 태도와 수학적 담론 수준을 분석하기 위한 코드와 구별을 위하여 숫자 앞에 발문(Questioning)은 Q로 코딩하였다.
결과 분석 및 논의
무리수 개념에 대한 학생 인식
무리수 개념의 기호 표상에 대한 학생 인식
무리수 개념의 기호 표상에 관한 1-(1)번 문항에서 대다수의 학생이 ‘√48/3이 유리수’라는 점만을 오류로 지적하였다. 응답별 빈도수를 조사한 결과, ‘√48/3이 유리수’가 104명(78.2%), ‘모든 답안이 근호로만 제시되어있음’이 5명(3.8%), ‘적절한 설명을 제시하지 못하였거나 무응답’이 24명(18%)이었다. ‘√48/3이 유리수’라거나 ‘모든 답안이 근호로만 제시되어있음’을 설명한 학생 응답 예시는 Figure 2와 같다.
학생들이 제시된 오류를 수정한 1-(2)번 문항의 답안을 분석한 결과, √48/3을 제하고 근호를 사용한 기호 표상을 사용한 응답이 80명(60.2%), 근호와 더불어 π를 함께 제시한 응답이 31명(23.3%), 기호 표상과 소수 표상을 사용한 응답이 13명(9.8%), 무응답이 9명(6.7%)였다. 기호 표상과 소수 표상을 사용한 응답의 예시는 Figure 3과 같다.
오류 수정의 근거를 서술한 1-(2)번 문항의 답안을 분석한 결과, ‘근호 안의 수를 제곱수가 아니도록 수정하였음’이 46명(34.6%), ‘제시한 수가 순환하지 않는 무한소수임’이 52명(39.1%), ‘근호 안의 수를 제곱수가 아니도록 수정하였고, 현재 제시한 수는 순환하지 않은 무한소수임’이 14명(10.5%), ‘제시한 수가 분수의 형태로 나타낼 수 없음’이 1명(0.8%), 무리수는 표현하였으나 적절히 설명하지 못하거나 무응답이 20명(15%)였다. 단 한 명의 학생이 제시한 수가 분수의 형태로 나타날 수 없는 비분수 표상의 정의를 근거로 정당화하였으며, 해당 학생의 응답은 Figure 4와 같다.
무리수 개념의 비분수와 소수 표상에 대한 학생 인식
무리수 개념의 비분수와 소수 표상에 관한 2-(1)번 문항에서 절반 이상의 학생이 53/83은 무리수라는 의견에 동의하였다. 응답별 빈도수를 조사한 결과, ‘53/83은 순환마디가 없는 무한소수이므로 무리수’라 응답한 학생이 72명(54.1%), ‘53/83은 유한소수이므로 유리수’라 응답한 학생이 41명(30.8%), '제시한 두 예시 응답 모두에 오류가 있다'라 응답한 학생이 8명(6.1%), ‘53/83이 유리수인지 무리수인지 판단할 수 없다'라 응답한 학생이 6명(4.5%), 무응답이 6명(4.5%)였다. ‘53/83은 순환마디가 없는 무한소수이므로 무리수’라 하거나 ‘53/83은 유한소수이므로 유리수’라 응답한 학생의 예시는 Figure 5, 두 예시 응답에 모두 오류가 있다하거나 판단할 수 없다고 응답한 학생의 예시는 Figure 6과 같다.
학생들이 오류의 근거를 제시한 2-(2)번 문항의 답안은 2-(1)에 53/83 을 유리수 또는 무리수의 판단한 빈도와 동일한 빈도를 나타내었다. 표상별로 구분하였을 때, 53/83이라는 분수 표상에 주목한 학생이 8명(6.1%), 계산기 결과에 제시된 소수 표상에 주목한 학생이 119명(89.4%), 무응답이 6명(4.5%)이었다. 분수 표상에 주목한 학생 응답 예시는 Figure 7, 소수 표상에 주목한 학생 응답 예시는 Figure 8과 같다.
무리수 개념의 도형과 수직선 표상에 대한 학생 인식
무리수 개념의 도형과 수직선 표상에 관한 3-(1)번 문항에서 절반 이상의 학생이 ‘무리수는 수직선 위에 나타낼 수 없다’라는 만화 속 대사를 오류로 지적하였다. 응답별 빈도수를 조사한 결과, ‘무리수는 수직선 위에 나타낼 수 있음’이 71명(53.4%), ‘무리수를 수직선 위에 나타낼 수 있는 근거가 잘못 제시되어있음’이 6명(4.5%), ‘무리수는 측정할 수 있음’이 6명(4.5%), '오류가 없음'이 34명(25.6%), 무응답이 16명(12.0%)이었다. ‘무리수는 수직선 위에 나타낼 수 있다’거나 ‘무리수를 수직선 위에 나타낼 수 있는 근거가 잘못 제시되어있다’고 응답한 학생의 예시는 Figure 9와 같다.
√2와 π를 도형과 수직선으로 표현하기를 요구한 3-(2)번 문항의 학생 응답을 분석한 결과, 두 수를 모두 도형과 수직선으로 나타낸 학생이 13명(9.8%), 두 수를 모두 도형과 수직선으로 나타내지는 못하였지만 최소 한 가지 이상을 나타낸 학생이 97명(73%), 무응답이 23명(17.2%)이었다. 두 수를 모두 도형과 수직선으로 나타낸 학생들은 √2는 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이를 이용하였으며, 이를 원점 기준으로 회전하여 수직선 위에 나타내었다. π는 반지름의 길이가 1인 원의 넓이 혹은 지름이 1인 원의 둘레로 제시하였으며, 지름이 1인 원을 원점 기준으로 오른쪽으로 한 바퀴 회전시켜 수직선 위에 나타내었다. 관련한 학생 응답 예시는 Figure 10과 같다.
부연하여 각 수에 따른 학생 반응을 분석한 결과, √2를 도형과 수직선 표상으로 나타낸 학생은 82명(61.7%)이었으나 π를 도형과 수직선 표상으로 나타낸 학생은 13명(9.8%)이라는 것을 확인할 수 있었다. 또한 π를 도형으로 나타낸 학생은 17명(12.8%), 3.14라는 근삿값을 이용하여 수직선 위에 점으로 나타낸 학생이 46명(34.6%)임을 확인할 수 있었다.
학생의 학습 태도와 수학적 담론 수준 변화를 위한 교사의 발문 전략
수학 오류 찾기 모둠 활동은 학생들끼리 자신의 오류 분석 내용을 논의하다가 교사의 발문을 중심으로 전개하였다. 자료 분석 결과, 학생 간 논의에서 교사와 학생의 논의로 변화에서 학생의 학습 태도와 수학적 담론 수준의 변화가 발생한 교사의 발문 전략은 유도적-탐구적 발문 전략인 반면, 학생의 학습 태도와 수학적 담론 수준의 변화가 유의미하지 않은 교사의 발문 전략은 일반적-선언적 발문 전략으로 나타났다. 여기서 선언적 발문은 탐구적 발문과 대조적인 형태로 학생의 탐구 과정을 결론짓는 질문을 의미한다.
유도적-탐구적(exploring) 발문 전략
유도적-탐구적 발문 전략은 교사가 모둠 논의에 참여하기 위하여 특정 구성원의 생각을 공유할 수 있는 일반적 발문을 시작으로, 학생 답변에 대한 구체적 발문을 통해 수학적 내용을 전개하고, 유도적 발문에 대한 소통을 목적으로 계속되는 탐구적 발문을 통해 수학적 내용과 과제를 연결하고 학생의 학습 태도와 수학적 담론 수준의 변화를 일으키는 전략이다. 이러한 발문 전략의 대표 예시는 G2가 무리수 개념의 비분수와 소수 표상에 대한 오류를 논의하는 장면(Episode 1A, Episode 1B)이다.
모둠 활동 이전에 작성하였던 개별 활동지의 2번 문항에서 G2 구성원인 학생들은 다음과 같이 응답하였다. 53/83을 S1과 S3는 유리수라 하였으며, S2와 S4는 무리수라 하였다. 각 학생이 유리수 또는 무리수로 판단한 근거는 상이하였다. S1은 53/83이 분수꼴로 나타내어졌고 무리수는 분수꼴로 나타낼 수 없으므로 유리수라 하였으나 S3는 53/83이 유한 소수이고 분수꼴로 나타낼 수 있으므로 유리수라 하였다. S2는 계산기 결과 화면에 순환하는 부분이 없고 끝이 없는 수이므로 53/83이 무리수라 하였으며, S4는 53÷83을 직접 계산하였을 때 순환하지 않는 무한소수로 나타내어지기 때문에 무리수라 하였다. 교사 개입 이전의 학생 간 논의 과정은 Episode 1A과 같다.
자신의 계산 결과를 근거로 이 무리수라 주장하는 S4는 주어진 과제의 선택지에서 옳고 그름을 판단하여 이유를 제시하였고([순서 G2-9]; RT2), 분수로 나타낼 수 있는 수는 유리수라는 수학적 개념을 근거로 제시한 S3는 주어진 과제의 오류를 판단하였다([순서 G2-10]; RT1). 순환하는 무한소수의 변환 방법을 떠올린 S1은 분수를 소수로 고치면 순환하거나 유한하다는 수학적 내용을 토대로 소수 표상의 관점에서 근거를 제시하였다([순서 G2-12], [순서 G2-14]; RC1). 이러한 S1의 설명에 S4가 감탄한 이유는 분수 형태는 유리수라는 것을 깨닫고 오류의 원인에 대한 사고의 전환이 시작되었다고 추론할 수 있다([순서 G2-11]; RT2). 즉, 학생들은 제시된 과제에서 오류가 무엇인지를 판단하고 원인을 분석하는 과정(RT1, RT2)에서 분수로 나타낼 수 있는 수는 유리수라는 수학적 개념을 이용하였으며, S1은 소수 표상의 관점에서 순환하는 무한소수는 유리수라는 수학적 성질을 설명하였다(RC1). 이를 통해 학생 간 논의에서 교정의 학습 태도와 내용 수준의 수학적 담론을 보인 S1을 제외하고 교정의 학습 태도와 과제 수준의 수학적 담론이 이루어지고 있다고 할 수 있다. 교사 개입 이후의 교사와 학생들의 논의 과정은 Episode 1B와 같다.
교사는 학생 간 논의에 참여하기 위하여 학생들의 답변을 묻는 일반적 발문으로 담론을 시작하였다([순서 G2-113]; Q4). S4가 오류가 무엇인가를 중심으로 의견을 요약하여 설명하자([순서 G2-114]; RT1), 교사는 S4의 답변에서 53/83이 유리수라고 생각한 S1에게 유리수라고 생각한 이유에 관한 설명을 요청하는 구체적 발문을 제시한다([순서 G2-115]; Q3). S1은 학생 간 논의에서 제시하였던 소수 표상의 관점에서 다시 한번 설명하고([순서 G2-116]; RC1), 53/83이 분수이므로 유리수라고 오류를 수정하였다([순서 G2-116]; RT3). 이후, 교사가 S2의 의견을 묻는 일반적 발문으로 다시 시작하는데([순서 G2-125]; Q4), S2는 실제 계산한다면 순환하지 않는 무한소수로 나타날 것이라 예상하기에 오류라 판단하였으며 계산기의 한계를 오류의 원인으로 지적하고 있다([순서 G-126]; RT1, RT2). S2가 유리수라 판단한 것에 관하여 교사가 유리수의 정의가 무엇이냐는 구체적 발문으로 이어지는데[순서 G2-127]; Q3), 학생이 분수 형태의 유리수로 반응하자 유리수에 관한 또 다른 정의를 요청하는 유도적 발문으로 연결하였다([순서 G2-129]; Q7). 이후 유리수의 다른 정의에 대한 유도적 발문을 소통하고자 탐구적 발문을 통해 ([순서 G2-131], [순서 G2-133]; Q10) 학생들과 유리수가 순환하는 무한소수라는 다른 정의를 소통하였다.
학생들이 유리수를 순환하는 무한소수로 답변하자([순서 G2-134]) 교사는 무리수의 정의가 무엇이냐는 유도적 발문으로 연결하였다([순서 G2-135]; Q7). 이후 유리수와 연관된 무리수의 정의에 대한 유도적 발문을 학생들과 논의하고자 탐구적 발문을 통해 ([순서 G2-137]; Q10) 학생들과 분수꼴로 표현되지 않는 수를 무리수의 정의로 소통하였다. 다시금 교사가 2번 문항으로 돌아와 방향 설정을 위한 유도적 발문([순서 G2-139], [순서 G2-141]; Q8)을 통해 S2와 S4가 과제에 제시된 소수 표상이 아닌 분수 표상에 집중하도록 함으로써 오류를 통해 잘못 사용한 수학적 내용을 개선하고 있음을 확인할 수 있다([순서 G2-140], [순서 G2-142]; RC2). 즉, 교사는 일반적 발문으로 학생 간 논의에 참여를 시작하여(Q3) 특정한 학생의 답변에 관한 구체적 질문으로 담론을 전개하고(Q4), 수학적 내용에 관한 논의가 충분히 전개된 이후에 유도적 발문을 통해 사고의 방향성을 제시하고(Q7), 탐구적 발문을 계속 전개함으로써 유도적 발문에 관한 학생들의 답변을 구체화하도록 하고(Q10), 다시 과제 상황으로 돌아와 수학적 내용과 과제를 연결하며 마무리하고 있다(Q8). 요약하면, 교사의 유도적-탐구적 발문 전략은 S2와 S4학생의 오류가 있는 과제 수준의 수학적 담론을 무리수의 정의를 활용한 내용 수준의 수학적 담론으로 변화를 이끌었다고 볼 수 있다.
이러한 유도적-탐구적 발문 전략은 학생들과의 면담에서도 학생의 학습 태도와 수학적 담론 수준에 변화를 가져왔다. 교사가 특정한 수학적 개념에 관한 구체적 발문을 시작으로, 일반적 발문을 통해 아직 논의에 참여하지 못한 학생을 초대하고, 유도적 발문을 통해 교사가 의도한 수학적 의미에 학생들을 집중시켜 계속되는 탐구적 발문을 통해 유도적 발문에 관한 학생들의 답변을 확장하는 것을 관찰할 수 있었다. 이러한 발문 전략의 대표 예시는 G2의 추가 면담에서 무리수 개념의 기호 표상에 대해 논의하는 과정(Episode 2)이다. 모둠 활동 이전에 작성하였던 개별 활동지의 1번 문항에서 G2 구성원인 S1과 S4는 다음과 같이 응답하였다. 두 학생 모두 √48/3이 무리수가 아님을 지적하였고, 오류를 수정한 자신의 답에서 S1은 근호와 π를, S4는 근호를 사용한 무리수만을 제시하였다.
교사는 근호라는 특정한 수학적 개념에 관한 구체적 발문으로 담론을 시작하였다([순서 IG2-28]; Q3). S1이 근호를 문제해결을 위하여 임의로 만든 기호([순서 IG2-31])라 응답하자, 아직 논의에 직접 참여하지 못한 S4를 위하여 일반적 발문으로 참여를 요청하였다([순서 IG2-32]; Q4). S4가 찾아본 사전적 의미를 공유하자 교사는 유도적 발문을 통해 학생들의 주의를 무리수의 다양한 표상으로 전환하고 논의를 이어나갔다([순서 IG2-34]; Q7). S1이 개별 활동지에 작성하였던 응답 중 하나인 π에 관하여 구체적 발문을 통해 학생의 의견을 끌어낸 후([순서 IG2-38]; Q3), 무리수의 다양한 표상에 관한 유도적 발문을 논의하고자, π를 쓴 이유에 대한 탐구적 발문([순서 IG2-40]; Q10)을 통해 학생의 학습 태도와 수학적 담론 수준에 대한 변화를 추구하였다. 이를 통해 S1과 S4학생은 발견적 태도와 내용 수준의 수학적 담론으로 논의함을 관찰할 수 있었다([순서 IG2-41], [순서 IG2-42]; DC2). 충분히 논의가 이루어진 뒤 교사는 학생들의 앞의 설명과 연결하는 “혹시 더 하고 싶은 말이 있을까요?”라는 간단한 탐구적 발문([순서 IG2-43]; Q10)을 통해 자유롭게 의견을 공유하도록 하였으며 학생은 일상 생활에서 보이는 무리수에 관하여 궁금증을 나타내는 탐구적(inquiry) 학습 태도와 과제적 수학적 담론 수준에서 표현을 관찰할 수 있었다([순서 IG2-44]; IT2). 즉, 면담 상황에서 교사는 수학적 개념에 관한 구체적 발문을 통해 학생 의견을 요청하고(Q3) 일반적 발문을 통해 논의에 참여하지 못한 학생을 독려하며(Q4), 유도적 발문을 통해 탐구할 수 있는 기반을 형성하여(Q7) 탐구적 질문으로(Q10) 유도적 발문에 대한 사고를 소통함으로 학생의 발견적이고 탐구적인 학습 태도가 발현되었음을 관찰할 수 있었다.
일반적-선언적(declarative) 발문 전략
일반적-선언적 발문 전략은 교사가 특정한 학생의 의견을 요청하는 구체적 발문으로 시작하여, 학생 응답을 통해 명시화된 수학적 내용에 일반적 발문을 통해 다른 구성원을 참여시켰으나 선언적 발문으로 마무리되어 학생들의 학습 태도와 수학적 담론 수준에서 유의미한 변화를 관찰할 수 없었던 전략이다. 이러한 발문 전략이 대표 예시는 G1이 무리수 개념의 기호 표상에 대한 오류를 논의하는 과정(Episode 3A, Episode 3B)이다.
개별 활동지의 1번 문항에서 G1의 구성원들은 다음과 같이 응답하였다. S1, S3, S4, S6은 √48/3이 유리수라는 점에서, S2는 모두 제곱근 기호를 사용하였기 때문에 다양성이 떨어진다는 점에서 오류를 지적하였다. S5는 1-(1)번 문항에서는 오류가 없다고 응답하였으나, 오류를 수정한 자신의 답안에서는 √48/3을 제외하고 ‘근호 밖으로 나갈 수 있는 수가 없으므로’라고 함으로써 비형식적으로 제곱수에 관한 이해를 보였다. 유사하게, S1, S3, S6도 근호 안의 수가 제곱수가 아닌 수로 조정하였으며, S2와 S4는 π와 2－√3 과 같은 무리수를 제시하였다. 특히, S2와 S4는 공통적으로 π는 순환하지 않는 무한소수이기 때문에 무리수라고 설명하였다. 교사 개입 이전 학생 간 논의 장면은 Episode 3A와 같다.
1번 문항의 오류를 √48/3은 무리수가 아니라 말한 S1([순서 G1-4]; RT1)에 S3, S4, S6의 학생이 동의하였으며([순서 G1-5], [순서 G1-9]; RT1), S2는 다양성이 떨어진다고 응답하였다고 자신의 오류를 공유하였다([순서 G1-6]; RT1). S1은 √48/3이 유리수이기 때문에 무리수가 아니라고 자신의 오류 판단 이유를 언급하고([순서 G1-12]; RT2), S2는 다양하지 않은 이유로 모두 근호 기호를 사용하고 있기 때문이며 이를 수정하기 위해 자신의 답안에서 순환하지 않는 무한소수와 π를 제시하였음을 설명하였다([순서 G1-19]; RT1, RT2, RT3). 이때, S1은 근호 기호로만 나타낸 답안도 다양하다고 주장하다가([순서 G1-18]) S2의 설명을 통해 다양성의 새로운 수학적 의미를 생성한 것으로 조심스럽게 유추할 수 있다([순서 G1-20]). 즉, S1이 개별 활동에서 인식한 다양함은 서로 다른 값이었으나 학생 간 논의를 통하여 서로 다른 표상으로 확장되었다고 해석할 수 있다. 이러한 수학적 의미는 학생들 사이에서 추가적으로 논의되지는 않았으며, 학생들은 제시된 과제에서 오류를 판단하고(RT1) 자신의 판단 근거를 설명하며(RT2) 오류가 없이 수정하였다(RT3). 이를 통해 학생 간 논의에서 교정의 학습 태도와 과제 수준의 수학적 담론이 이루어졌음을 확인할 수 있다. 교사가 개입하고 교사와 학생의 논의 과정은 Episode 3B와 같다.
교사는 논의에 참여하기 위해 일반적 발문으로 담론을 시작하였다([순서 G1-23]; Q4). S1이 모둠 활동에서 논의된 두 가지 오류 내용을 요약하여 응답하자([순서 G1-24]; RT1), 교사는 다양성이 떨어진다는 S1의 답변에 추가 설명을 요청하는 구체적 발문으로 전개하였다([순서 G1-25]; Q1). S1은 학생 간 논의를 통해 근호로 나타낸 수뿐만 아니라 순환하지 않는 무한소수도 무리수라고 기호 표상에서 소수 표상으로 확장하여 수학적 개념을 통해 오류의 원인을 설명하였다([순서 G1-26]; DT1). 학생 간 논의에서 S1이 다양성에 관하여 생성한 수학적 의미를 교사 발문을 통해 명시화하였다고 할 수 있다. 이에 교사는 해당 아이디어를 처음 제시한 사람을 구체적 발문을 통해 확인하고([순서 G1-27]; Q1), 다른 모둠 구성원에게 공유될 수 있도록 S2의 개별 활동지에 제시된 다양한 무리수 표상의 예시를 “진짜 다양하게 표시했군요”라는 선언적 표현을 바탕으로 다른 학생들에게 동의를 요구하는 선언적 발문으로 담론을 마무리하였다([순서 G1-29]; Q11). 수학 오류 찾기 활동에서 교사의 의도를 특정한 학생(S2)이 발견한 상황에서 교사는 학생들의 사고를 묻는 일반적 발문(Q4)으로 시작하였으나 다른 모둠 구성원들에게 선언적 발문(Q11)을 통해 동의 여부만을 확인하며 마무리하는 것이다. 이를 통해 교사와 학생의 논의에서 S2학생 이외의 다른 다섯 학생들의 학습 태도와 수학적 담론 수준에서 사고 과정의 변화를 관찰할 수는 없었다.
결론 및 제언
본 연구의 목적은 수학 오류 찾기 활동에서 학생의 인식과 학생의 오류 활용에 관한 교사의 발문 전략을 탐색하는 데 그 목적이 있었다. 이에 실수 단원을 학습한 중학교 3학년 학생 133명을 대상으로 수학 오류 찾기 개별 활동을 통해 학생 인식을, 수학 오류 찾기 모둠 활동과 추가 면담을 통해 교사의 발문 전략을 조사하였다. 수집된 개별 활동지, 모둠 활동지는 내용 분석 기준표를 따라, 모둠 활동과 추가 면담의 전사자료는 학생의 학습 태도와 수학적 담론 수준에 따라 분석하였다. 분석 결과에 따라 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다.
첫째, 무리수 개념의 표상에 따라 학생들은 근호라는 기호 표상에, 분수 표상보다는 소수 표상에 집중하며 무리수를 수직선 위에 나타낼 수 있다는 점은 인식하지만 도형이나 수직선으로 나타내는 데는 어려움을 겪는 경향이 있다고 할 수 있다. 연구 결과를 살펴보면, 기호 표상에서 오류를 수정한 자신의 답안에 80명의 학생이 근호로 나타낸 수만을 무리수로 제시하였고 비분수 표상과 소수 표상에서 53/83라는 분수 표현이 제시되었음에도 계산기에 제시된 소수 표상을 기준으로 유리수 또는 무리수라 판단한 학생이 119명이었다. 또한 절반 이상의 학생이 √2를 도형 표상과 수직선 표상으로 나타낸 반면, π를 도형 표상과 수직선 표상으로 나타낸 학생은 13명이었다. 이러한 결과는 교사를 대상으로 무리수 개념의 인식을 조사한 선행연구(Kang & Choi, 2017; Zazkis & Sirotic, 2010)와 그 흐름을 같이 한다. 특히, 무리수의 도형 표상과 수직선 표상에 관하여 √2는 다수의 교과서에 그 과정이 제시된 반면 π는 그 경우가 드물고, 추가 면담에서 π에 관한 학생 응답에서 무리수 개념과 원주율 개념을 연결해야 하는 어려움이 겪는 것을 해석해 볼 수 있다: “π를 보고 원이랑 구가 생각나는 게 아니라, ‘무리수인데 이걸 어떻게 도형과 수직선 위에 표현하지?’라는 생각을 했어요.”
둘째, 유도적-탐구적 발문 전략은 학습 활동에서 오류를 다루는 학생의 학습 태도와 수학적 담론 수준의 변화를 촉진하는 전략이라 할 수 있다. 연구 결과를 살펴보면, 학생 간 논의에서는 대부분 교정의 학습 태도, 과제 수준의 수학적 담론이 이루어졌다. 교사가 유도적-탐구적 발문 전략을 활용하였을 때, G2의 비분수 표상과 소수 표상에 관한 논의에서 이전에 나타나지 않던 내용 수준의 수학적 담론이 나타났다. 또한 교사가 유도적-탐구적 발문 전략을 활용하였을 때, G2의 기호 표상에 관한 추가 면담에서 학생들이 발견과 탐구 수준의 학습 태도를 취하는 모습이 관찰되었다. 반면 교사가 일반적-선언적 발문 전략을 활용하였을 때, G1의 기호 표상에 관한 학생 간 논의에서 인식한 수학적 아이디어를 학생 자신의 말로 표현하며 명시화하는 모습이 관찰되었지만 학생들의 학습 태도와 수학적 담론 수준에서 사고 과정의 변화는 관찰할 수 없었다. 이러한 결과는 교사가 학생의 수학적 아이디어를 표현하도록 요청하는 발문을 주로 사용하는 것이 학생의 아이디어를 명확히 하고 정당화할 수 있는 기회를 제공한다는 Boaler와 Brodie (2004)의 연구와 흐름을 같이 한다. 본 연구에서는 이를 일반적-선언적 발문 전략과 대조적으로 유도적-탐구적 발문 전략으로 교사의 발문 전략을 구체화시켰다는데 의의가 있다고 볼 수 있다.
위와 같은 결론을 토대로 수학 오류 찾기 활동과 교사의 발문 전략에 관하여 다음과 같이 논의할 수 있다.
첫째, 수학 교수·학습 활동에서 오류를 활용하는 방법을 구체적으로 보였다고 할 수 있다. Borasi (1996)는 오류를 활용한 수업은 학생 수준에 관계없이 오류 수정의 욕구와 수학적 탐구 의지를 촉진한다는 점에서 학생의 수학 학습에 기여할 수 있다고 주장하였다. 다만 오류를 활용하는 수업을 개발하고 적용하기 위해서는 교사의 시간과 노력이 상당히 필요하다는 어려움이 있다(Lim & Choi, 2016). 본 연구에서는 무리수 표상을 중심으로 오류를 선택하였으며, 이를 개별 활동과 모둠 활동으로 구성하였다. 특히, 하나의 오류를 개별적으로 해결한 결과를 토대로 모둠 논의에서는 서로의 의견을 공유하고 의견에 변화가 있는가에 학생들이 집중할 수 있도록 하였다. 따라서 본 연구에서 적용한 수학 오류 찾기 활동의 구조는 교수 측면에서 오류를 활용한 수학 교수·학습 방법에 관한 아이디어를 제공한 가치가 있다.
둘째, 수학 오류 찾기 활동에서 학생의 학습 태도와 수학적 담론 수준에 관한 교사의 발문 전략 중요성을 보였다고 할 수 있다. 본 연구에 따르면 교사의 발문 전략에 따라 오류에 관한 교사와 학생의 논의에서 학생의 학습 태도와 수학적 담론 수준이 달라질 수 있음을 보였다. 특히, 이러한 발문 전략의 형태를 서로 다른 두 가지 형태로 구체화하여 예시를 제공하고자 하였다. 선행연구에 따르면 의사소통이 활발한 수학 수업은 그 자체가 맥락의존적이기 때문에 후속 연구에서 다양한 맥락에 따른 교사의 발문 전략을 분석할 필요성을 제기하였다(Choi et al., 2016a, 2016b). 이러한 필요성을 토대로 본 연구는 교사의 발문 전략을 오류 찾기 활동 맥락으로 확장하여 탐색하였다는 데 가치가 있다.
이러한 논의를 토대로 수학 교수·학습 활동에 오류를 활용하고자 하는 수학교육공동체에 다음과 같이 제언하고자 한다.
첫째, 교수 측면에서 교사는 수학 오류 찾기 활동에서 서로 다른 학생의 의견에서 수학적 아이디어를 포착하고 이를 확장할 수 있도록 교수학적 내용 지식과 발문 전략을 개발할 필요가 있다. 본 연구에서 적용한 수학 오류 찾기 활동을 학교 현장에서 실행하기 위해서는 특정한 개념의 대표적 오류를 문항으로 개발하는 단계부터 학생 간 논의를 생산적으로 조정하기까지 일련의 단계를 거친다. 예를 들어, 특정한 수학적 개념의 표상에 따른 오류를 분석하여 대표적 오류를 선정하고 개발하는 단계에서는 교수학적 내용 지식이 필수적이며, 모둠 활동에서 학생의 학습 태도 또는 수학적 담론 수준을 변화시키기 위해서는 교사의 발문 전략이 뒤따라야 할 것이다. 여기서 주의할 점은 본 연구에서 교사의 전문성을 수학 오류 활동 찾기를 착수하기 위한 제반사항으로 여기지 않는다는 점이다. 교사의 전문성은 실행과 반성의 순환을 통해 개발된다는 점에서 교사는 자신의 수학 오류 찾기 활동을 반성함에 있어 교수학적 내용 지식과 발문 전략을 고려할 수 있을 것이다.
둘째, 학습 측면에서 학생은 수학 오류 찾기 활동의 주체로서 모둠 구성원과 자신의 의견을 적극적으로 공유하고 새로운 질문을 찾아가는 의사소통 역량을 가질 필요가 있다. 특히, 교사의 유도적-탐구적 발문 전략을 통해 학생이 자신의 의견에 수학적 옳고 그름보다는 의견을 공유하는 그 자체가 공동지를 형성하는 첫 단계이며 다른 학생에게 학습 기회가 될 수 있다는 기여점에 주안점을 둔다면 인식을 전환할 수 있을 것이다.
셋째, 연구 측면에서 다른 수학적 내용을 중심으로 수학 오류 찾기 활동에서 학생 인식과 교사의 발문 전략을 탐색할 필요가 있다. 본 연구는 무리수 개념의 서로 다른 표상이 가지는 수학적 의미를 토대로 문항을 개발하여 적용하였으나, 수학적 개념 형성에 있어 다양한 표상은 필수불가결한 요소이다(Choi & Kang, 2016). 예를 들어, 일차함수의 표상을 토대로 대표적 오류를 선별하여 중학교 2학년 학생을 대상으로 수학 오류 찾기에서 나타나는 학생 인식과 교사의 발문 전략을 탐색해 볼 수 있다. 이와 같이 향후 연구에서는 다양한 수학적 개념을 토대로 오류 찾기 활동을 개발하고 적용함으로써 교사의 발문 전략을 보다 정교화할 수 있을뿐 아니라 수학적 내용을 포괄하는 일반화의 가능성도 논의할 수 있을 것이다.
Acknowledgements
This work was supported by the College of Education, Korea University Grant in 2022; This work was a revision of Na’s master thesis (2023).1 수학적 담론 수준에 관한 독자의 이해를 돕기 위하여 Borasi (1996)의 원에 관한 학생 담론 예시를 소개하고자 한다: 오류가 있는 원의 정의들을 여러 가지 나열하였을 때, 학생들이 하나를 선택하여 오류를 수정하고 수학적으로 승인가능한 정의를 제시한다면 특정한 수학 과제 수행하기이다(Bosari, 1996). 만약 여러 가지 원의 정의에서 특정한 정의를 선택하여 분석하며 원의 다양한 특성과 관계 등 기술적인 수학적 내용을 학습한다면 수학적으로 기술된 내용 이해하기이다(Bosari, 1996). 나아가 특정한 정의에 결점이 무엇인지 구별하여 본질적으로 수학적 정의를 구성하기 위해 필요한 요소를 논의한다면 수학의 본질 이해하기이다(Bosari, 1996).
2 Choi와 Kang (2016)에 따르면, 무리수 개념의 여섯 가지 표상으로 구분할 수 있다: 무리수를 분수의 형태로 나타낼 수 없음을 의미하는 비분수, 순환하지 않는 무한소수를 의미하는 소수, √2, π와 같이 특정 기호를 의미하는 기호, 도형의 길이나 넓이, 부피 등을 의미하는 도형(원문에는 기하), 수직선 위 대응하는 하나의 점을 의미하는 수직선, log2, ln5 와 같이 특정한 함수의 함수값을 의미하는 함숫값. 본 연구는 중학교 3학년 학생을 대상으로 하기에 함숫값 표상을 제외하였으며, 수학 오류 찾기 문항 개발에서 하나의 문항에 함께 제시되는 표상을 범주화하여 다루었음을 밝힌다.
3 구체적으로 살펴보면 다음과 같다: √2만 도형과 수직선 표상으로 나타낸 학생이 39명(29.2%), √2는 도형과 수직선 표상으로 모두 나타냈으나 π는 수직선 위의 점으로만 나타낸 학생이 26명(19.5%), √2는 도형과 수직선 표상으로 모두 나타냈으나 π는 도형으로만 나타낸 학생이 4명(3.0%), √2와 π를 수직선 위의 한 점으로만 나타낸 학생이 17명(12.7%), √2를 도형으로만 나타낸 학생이 2명(2.0%), √2를 수직선 위의 한 점으로만 나타낸 학생이 6명(4.4%), π를 수직선 위의 점으로만 나타낸 학생이 3명(2.2%)이었다.
