A comparative analysis on ratio and rate in elementary mathematics textbooks of Korea and Singapore

서론

비와 비율은 초등학교 수학의 규칙성 영역에서 핵심이 되는 주제이며, 정비례와 반비례, 방정식, 함수 등과 같은 중등학교 수학의 여러 주제와 밀접하게 관련되어 있다. 이와 관련하여 Freudenthal (1999)은 비와 비율은 분수, 몫과 밀접하게 연결되지만 그보다 더 복잡하고 수준 높은 주제라고 강조한다. 특히 Lobato 외 (2010)는 “비를 이용한 추론은 두 가지 양을 관련지어 생각하는 것”(p. 15)이라고 설명하면서 양적 추론을 강조하였고, 이러한 양적 추론의 방법을 “두 양을 곱셈으로 비교하거나, 두 개의 양을 하나의 합성단위로 합친 것”(p. 18)으로 구분하여 제시하기도 하였다.

비와 비율이 학교 수학에서 매우 중요한 위치를 차지하고 있음에도 불구하고 용어가 의미하는 것이 무엇인지에 대해서는 아직까지 완전히 합의되지 않았다. 구체적으로, Thompson과 Thompson (1992)은 비와 비율은 용어를 구분하여 사용할 만큼 서로 다른 두 가지 아이디어지만 두 가지 용어 사용에 있어서 합의가 이루어지지 않았기 때문에 많은 혼란이 발생한다고 지적하였다. 또한 Kim (2015)은 비와 비율에 대한 한국과 미국의 관점에 많은 차이가 있고, 이에 따라 교과서에서 강조하는 사항에도 차이가 있음을 보였다. 이는 비와 비율에 대한 관점의 차이가 교수·학습적 측면에서도 많은 차이를 유발한다는 것을 시사한다. 즉, 비와 비율과 관련하여 한국의 교과서 및 교수 · 학습 개선에 대한 시사점을 탐색하기 위해서 여러 나라 교과서를 비교 · 분석할 때에는 먼저 각 나라의 교과서에서 비와 비율을 바라보는 관점이 무엇인지를 정확하게 파악하는 것이 중요하다. 비와 비율에 대한 관점의 차이를 고려하지 않은 채 다른 나라 교과서의 교수·학습 방법을 한국의 교과서에 그대로 반영하는 것은 논리적 또는 체계적인 측면에서 오히려 혼란을 야기할 수 있기 때문이다.

한편 비와 비율과 관련하여 교과서를 분석한 선행 연구는 우리나라 교과서에 제시된 개념이나 용어에 대한 연구(e.g., Jeong, 2003a, 2003b; Yim, 2015, 2020, 2021), 우리나라 교과서와 다른 나라 교과서의 국제 비교 연구로 나누어 볼 수 있다(e.g., Chang et al., 2017; Chong, 2015; Kim, 2015; Kim & Paik, 2010). 그중 비와 비율 관련된 교과서의 국제 비교 연구는 개념의 정의, 과제 유형 및 맥락, 시각적 모델 등 다양한 기준을 통해 교과서를 비교·분석하여 여러 가지 시사점을 제안하고 있다. 그러나 각 교과서에 제시된 비와 비율을 양적 추론의 측면에서 면밀하게 비교·분석하여 우리나라 교과서의 한계점에 대한 여러 가지 대안을 마련한 연구는 드물다. 특히 Thompson과 Thompson (1992)은 비와 비율은 학생들의 정신적 조작의 산물이므로 학생들이 이러한 정신적 조작에 참여하고 구성할 수 있도록 어떠한 교수적 행동과 교육과정을 제공하는 게 도움이 될지를 따져보는 것이 중요하다고 지적하였다. 이에 본 연구에서는 한국과 싱가포르 교과서를 대상으로 각 교과서에서 비와 비율을 어떻게 바라보고, 전개하는지를 구체적으로 살펴봄으로써 우리나라 교과서의 개선 방향을 탐색하고자 한다. 이에 대한 연구 문제는 다음과 같다.

가. 한국과 싱가포르 교과서의 비와 비율에 대한 관점은 어떠한가?

나. 한국과 싱가포르 교과서는 비와 비율에서 무엇을 강조하고 그 강조사항을 어떻게 전개하는가?

한국과 싱가포르 교과서를 비교·분석하는 가장 주된 목적은 어느 하나의 방법이 더 좋고 나쁨을 판가름하기 위한 것이 아니라 두 나라의 비와 비율에 대한 관점차를 고려하여 비교 · 분석함으로써 교수 · 학습 방법의 장점 및 한계점을 탐색하고 학생들이 비와 비율을 정신적 조작의 산물로서 개념적으로 이해하도록 돕기 위한 대안을 살펴보는 것이다. 이를 통해 초등학교 수학에서 비와 비율을 지도할 때 용어를 어떻게 제시하고, 각각의 용어를 개념적으로 이해하기 위해서 무엇을 강조하고 어떠한 방법으로 제시할 수 있을지에 대한 시사점을 구체적으로 제공하고자 한다.

이론적 배경

비와 비율에 대한 다양한 정의

한국과 싱가포르 교과서에서 비와 비율을 어떻게 바라보고 있는지를 탐색하기 위해서 먼저 선행연구에서 비와 비율을 어떻게 구분하고 사용하는지를 살펴보았다. 대표적인 연구를 중심으로 이를 정리하면 Table 1과 같다. 선행연구에서 사용하는 용어 ratio와 rate를 국내에서 사용하는 용어 비와 비율로 번역하여 기술할 경우에 많은 혼란을 야기할 수 있으므로(Kim, 2015), 본 절에서는 선행연구에서 사용한 용어(즉, ratio 또는 rate)를 그대로 제시하였다.

Table 1. Perspectives on ratio and rate

* Note: The classification and order of perspectives were arbitrarily set by these researchers for the convenience of description. ** Note: They include different quantities of the same unit.

<관점 1 >은 ratio와 rate를 구분하지 않고 어느 하나의 용어로 통합하여 사용하는 경우이다. 대표적으로 Freudenthal (1999)은 두 양 사이의 관계를 모두 ratio를 이용하여 설명하고 “ratio는 수나 양(magnitude value)으로 이루어진 하나의 순서쌍의 함수”(p. 179) 라고 하였다. 그는 ratio는 분수나 나눗셈의 몫보다 논리적으로 상위 주제라는 것을 강조하면서 3:4를 분수 3/4이나 3을 4로 나누는 것(즉, 몫)으로 표현할 수 있지만 ratio에는 이보다 더 중요한 의미가 있다고 하였다. 이에 현상학적 맥락에서 ratio의 논리적 지위를 고려하여 ratio를 “a:b=c:d에서 순서쌍들의 집합에서의 동치 관계”(p. 180)로 다시 설명하였다. 즉 ratio는 두 양의 비교와 관련된 것이지만 ratio의 진정한 의미는 그 값이 얼마인지와 관련없이 ratio들이 서로 같음(또는 다름)을 보이는 데 있다고 보았다. 이는 a:b=c:d와 같이 네 양 사이의 관계에 대한 비례성(proportionality)과 직접적으로 연결된다. 따라서 두 종류의 체계(예, 시간과 거리)가 관여하는 상황에서는 한 체계 내에서 ratio와 두 체계 사이에서의 ratio로 구분가능하다. Freudenthal (1999)은 전자를 internal ratio(내적비 또는 내적비율)로, 후자를 external ratio(외적비 또는 외적비율)로 구분하였다. 또한 ratio는 몫으로 해석할 수 있고 그 경우에 internal ratio는 수이고, external ratio는 양(예, 속도)이라고 설명하였다. 또한 비율의 동치관계는 s1:s2=t1:t2 (s: 거리, t: 시간)와 같은 경우를 internal ratio의 불변성으로, s1:t1=s2:t2와 같은 경우를 external ratio의 일정성으로 표현하였다.

<관점 2 >는 ratio와 rate를 개념상으로 뚜렷하게 구분한 경우이다. 먼저 <관점 2a >는 ratio를 서로 같은 단위로 측정한 양의 비교로, rate를 서로 다른 단위로 측정한 양의 비교로 보는 경우이다. 대표적으로 Vergnaud (1988)는 서로 같은 단위(예, 명)로 측정한 양 중에서 (여학생의 수)/(남학생의 수) 같이 부분과 부분을 비교하는 경우를 ratio로, (거리)/(시간)와 같이 서로 다른 단위(예, km와 시)로 측정한 양을 비교하는 경우를 rate로 구분하였다. 한편 서로 같은 단위로 측정한 양 중에서 전체와 부분을 비교한 경우를 분수(fraction)로 따로 구분하였다. 주목할만한 점은 Vergnaud (1988)는 ratio와 rate를 모두 1보다 작거나 큰, 하나의 수나 양으로 표현한다는 것이다. 즉, ratio는 두 양의 단위가 같으므로 순수한 수인 스칼라(scalar)이고, rate는 km/h와 같이 몫(quotient)으로 나타나고 이는 함수(function)라고 하였다. 이러한 측면에서 Vergnaud (1988)의 ratio와 rate는 각각 Freudenthal (1999)의 internal ratio와 external ratio와 연결할 수 있다.

<관점 2b >는 ratio와 rate를 양의 종류로 구분하기 보다는 ratio는 관계로, rate는 하나의 양으로 구분하는 경우이다. 대표적으로 Lesh 외 (1988)는 ratio를 양의 종류가 외연량, 내포량, 순수한 수인지 상관없이 ‘양의 순서쌍이 포함된 이항관계’라고 정의하였고, rate는 3 km/h와 같이 하나의 양(예, 3 km)과 또 다른 양의 단위량(예, 1 h) 사이의 관계를 나타내는 단일한 양, 즉 내포량이라고 정의하였다. 특히 이들은 앞에서 여러 연구자들이 순수한 수라고 보았던 스칼라도 30달러/달러처럼 같은 단위 사이의 관계를 나타내는 내포량으로 보았다. 또한 이들 역시 ratio와 rate를 분수, 몫과 구분하는데 분수는 외연양으로, 몫은 두 양의 이항 연산으로 보았다.

<관점 3 >은 ratio와 rate를 개념상으로 구분하기보다 이를 사용하는 상황의 범위나 정신적 조작의 수준 차이에 따라 구분한 경우이다. <관점 3a >는 각각을 사용하는 상황의 범위에 따라 구분한 것이다. 대표적으로 Lamon (2012)은 ratio는 매우 특정한 상황에서 양을 비교(예, 부분과 전체의 비교, 부분과 부분의 비교, 서로 다른 종류의 두 양 비교)하는 것인 반면에, 그 ratio를 더 넓은 상황으로 확장하는 게 가능하다면 이때 ratio를 rate로 보았다. 예를 들어 속력 30 km/h로 2시간동안 이동하여 목적지에 도착한 후에 같은 거리를 속력 20 km/h로 이동하여 돌아왔다면 평균 속력은 120(km)/5(h) =24 km/h이다. 이때 24 km/h는 특정한 상황에만 적용된 것이므로 ratio이다. 반면에 햄버거 가게에서 시간당 만원을 벌었다면 일하는 시간이 1시간, 2시간, 10시간 등으로 확장 가능하므로 10,000원/h는 rate이다. 또한 Lamon (2012)은 전체-부분 분수는 ratio에 포함되지만 모든 ratio가 전체-부분의 비교는 아님을 강조하면서 분수와 ratio, rate를 구분하였다.

<관점 3b >는 학생들의 정신적 조작 측면에서 ratio와 rate에 수준 차이가 있다고 보는 경우이다. 대표적으로 Thompson (1994)은 “ratio는 특정한 두 양을 곱셈적으로 비교한 결과”(p. 190)이고, rate는 “반영적 추상화된 일정한 ratio”(p. 192) 또는 “내재화된(interiorized) ratio”(p. 193)라고 하였다. 예를 들어, 귤과 감의 ratio가 2:3이고, 귤이 12개 있을 때 감이 몇 개인지를 구하기 위해서, 학생들은 ‘귤 2개와 감 3개, 귤 4개와 감 6개, …, 귤 12개와 감 18개’로 생각한다. 이를 통해 학생들은 ‘감 3개당 귤 2개씩’으로 귤과 감의 관계를 추상화하고 더 나아가 ‘감 1개 당 귤 2/3’개와 같이 일정한 ratio 즉, rate를 구성할 수 있다.

종합하면 ratio와 rate는 연구자들의 관점에서 따라 사용되는 상황과 용어의 의미에 많은 차이가 있다. 공통적으로 연구자들은 ratio와 rate를 구분할 때 :, 분수, 소수, 나눗셈 몫 등으로 표현하는 형식이나 방법에 초점을 두기 보다는 각각이 사용되는 상황이나 양의 종류 등에 더 초점을 둠으로써 분수나 몫과 구별되는 ratio, rate의 의미를 강조한다. 따라서 선행연구와 비교하여 한국과 싱가포르의 비와 비율에 대한 관점이 어떠한지를 보다 세심하게 탐색할 필요가 있다. 이를 통해 현행 교과서에서 비와 비율을 정의하고 전개하는 방법에서 한계점이 무엇인지를 살펴보고 한국과 싱가포르의 관점차를 고려하여 양적 추론 측면에서 각각의 의미를 강조하기 위한 대안을 탐색할 필요가 있다.

비와 비율 관련 교과서 분석 선행 연구

지금까지 비와 비율과 관련된 다양한 교과서 분석 연구가 선행되었는데, 이는 우리나라 교과서에 제시된 비와 비율, 비의 값, 백분율 등의 개념 및 용어에 초점을 맞춘 연구(e.g., Chang, 2002; Hong, 2013; Jeong; 2003b; Park, 2010; Yim, 2015, 2020, 2021)와 비와 비율에 대한 교과서 국제 비교 연구(예, Chang et al., 2017; Chong, 2015; Kim, 2015; Kim Paik, 2010; Lee et al., 2015; Park Lee, 2018; Park Jeong, 2010) 등으로 구분할 수 있다. 본 연구는 우리나라와 싱가포르 교과서의 비와 비율의 의미와 이에 따른 지도 방법을 분석하고 양적 추론 측면에서 각각의 의미를 강조하기 위한 대안을 탐색하는 것이 목적이므로, 본 절에서는 우리나라 교과서에 제시된 비 개념을 상황, 단위, 의미의 관점에서 분석하고 비율의 설명 표현을 분석한 Yim (2020, 2021)의 연구에 대해서 자세히 살펴보았다.

Yim (2020)은 비 개념이 도입될 때의 상황, 단위, 의미를 기준으로 교수요목기부터 2015 개정 교육과정을 반영한 교과서를 분석하였는데, 사용한 분석 기준을 요약하면 다음과 같다. 그는 단일 상황과 복수 상황으로 문제 상황을 구분하였는데, 단일 상황은 사과 1개와 딸기 3개를 1:3으로 비교하는 것처럼 특정한 경우의 두 양을 비교하는 상황이고 복수 상황은 사과 1개 당 딸기를 3개씩 넣어 주스를 만들 때 사과와 딸기를 1:3, 2:6, … 으로 비교하는 것처럼 두 양이 비례적인 상황을 말한다. 단위도 단일 단위와 복수 단위로 구분하였는데, 단일 단위는 1개, 1명과 같이 하나의 단위로만 두 양을 측정하는 것이고, 복수 단위는 사과를 1개씩 셀 수도 있고 5개씩 한 묶음으로 셀 수 있는 것처럼 두 양을 측정하는 단위가 두 가지 이상 제시되는 것이다. 또한 비의 의미와 관련하여 a:b에서 어느 하나의 양을 기준으로 하여 다른 양을 곱셈적으로 비교하는 경우를 종속으로, a:b를 대등한 두 양 a와 b로 이루어진 상황으로 보는 경우를 대등으로 나누어 분석하였다. 이를 통해 지금까지 우리나라 교과서에서는 비 개념을 도입할 때 단일 상황이 활용되었으나 최근에는 복수 상황이 제시되고 단일 단위를 주로 활용하였으며 비의 의미로 곱셈적 비교를 강조해 왔음을 밝혔다.

Yim (2021)은 우리나라 교과서에서 비율을 설명할 때의 표현을 “비율의 내포적 정의에 사용된 언어적 표현”, “기준량을 1로 볼 때라는 표현”, “(비교하는 양)÷(기준량)이라는 비율의 나눗셈 표현”, “(비교하는양)/(기준량)이라는 비율의 분수 표현”(p. 297)으로 나누어 분석하였다. 그 결과 비율의 정의가 모호한 면이 있고, ‘기준량을 1로 볼 때 라는 표현’이 비율과 기준량을 이해하는 데 도움이 되며 비율의 분수 표현보다는 나눗셈 표현이 더 적절할 수 있음을 제안하였다. 이외에도 복수 상황을 비와 비율의 도입에서 활용하는 것이 적절한지 논의가 필요하다고 하였다. 본 연구에서는 Yim (2020, 2021)의 연구에 제시된 분석 기준을 바탕으로 우리나라와 싱가포르 교과서의 비와 비율과 관련된 단원을 분석하는 기준을 마련하였다.

연구 방법

분석 대상

본 연구의 목적은 한국과 싱가포르 교과서에서 비와 비율에 대한 관점과 지도 방법의 강점 및 한계점을 비교 · 분석함으로써 우리나라 교과서의 개선 방안을 탐색하는 것이다. 특히 싱가포르는 국제 수학 · 과학 학업성취도 평가(TIMSS) 2011, 2015, 2019에서 가장 높은 수학 성취도를 보였다(Seo et al., 2021). Lessani 외 (2005)는 그러한 결과를 싱가포르의 수학 교과서의 영향으로 보았다. 이에 한국과 싱가포르 교과서에서 비와 비율을 어떻게 다루고 있는지를 비교·분석함으로써 우리나라 교과서의 한계점에 대한 의미있는 대안을 도출해낼 수 있을 것이다.

이러한 연구 목적에 따라 한국은 2015 개정 교육과정에 의한 국정 수학 교과서를, 싱가포르는 My Pals Here! Math를 분석 대상으로 하였다. 한편, 우리나라에서는 백분율을 비율의 표현 방법으로 다루고 비와 비율 단원에서 백분율을 제시하므로 백분율도 함께 분석하였고 싱가포르 교과서에서도 Percentage 단원을 포함하였다. 분석 범위는 비와 비율, 백분율을 직접적으로 다루고 있는 단원으로, 구체적으로 한국은 6학년 1학기 4단원 비와 비율(Ministry of Education [MOE], 2022a), 싱가포르는 5A 7단원 Ratio, 5B 10단원 Percentage, 12단원 Rate, 6A 3단원 Ratio, 4단원 Percentage, 6B 7단원 Speed (Kheong et al., 2017a, 2017b, 2018a, 2018b)이다. 각 교과서의 전개 과정을 살펴보기 위해 비와 비율, 백분율을 학습하는 차시를 분석하였는데 한국의 교과서는 각 차시의 ‘활동’을 중심으로 분석하였고, 싱가포르는 각 차시가 주로 ‘Learn’과 ‘Learn’의 해결 방법을 적용해보는 ‘Try’로 이루어지는데 이를 포함하였고 그 외 단원 도입과 ‘Recall’, ‘Hands-On-Activity’ 등도 분석 범위에 포함하였다.

분석 기준

각각의 교과서에서 양적 추론과 관련하여 무엇을 강조하고 있는지를 살펴보기 위해서 Yim (2020, 2021)에서 제시한 분석 기준과 분석 결과를 재구성하고 교과서에서 제시된 표현 양상을 분석하기 위해 구성 요소를 첨가하여(예, a→b, phrase) Table 2와 같은 분석 기준을 마련하였다.

양적 추론 측면에서 비와 비율을 어떤 관점으로 보고 어떻게 접근하는지를 보다 구체적으로 살펴보기 위해서 맥락, 관계, 표현으로 구분하였다. 먼저 맥락에서는 상황과 단위의 종류, 단위의 사용으로 나누어 비와 비율, 백분율 개념을 다루는 상황이 단일 상황인지, 복수 상황인지 살펴보았다. 단일 상황은 펜 2자루와 연필 4자루를 곱셈적으로 비교하는 것과 같이 특정 두 양을 비교하는 상황이고, 복수 상황은 모둠 수(즉, 한 모둠당)에 따른 준비하는 사람 수(예, 6명)와 판매하는 사람 수(예, 3명)를 곱셈적으로 비교하는 것과 같이 비례가 내재되어 있는 상황이다. 단위의 종류는 단일 단위(예, 1자루), 합성 단위(예, 펜 2자루씩 한 묶음 또는 1분당 75쪽), 미지 단위(예, 단위의 크기가 주어지지 않은 경우)로 구분하였다. 단위의 사용은 위의 여러 가지 단위 중에서 하나의 상황에서 사과 12개처럼 하나의 단위만 단독으로 사용하는 경우와 사과 12개, 4봉지, 2상자처럼 두 가지 이상의 단위를 중복으로 사용하는 경우로 구분하였다.

Table 2. Analytic foci

관계는 크게 두 양의 종류와 두 양 사이의 관계로 구분하였다. 두 양의 종류는 연필 2자루와 3자루처럼 두 양이 서로 같은 종류의 양인지, 2시간 동안 3 km를 달린 것처럼 다른 종류의 양인지를 중심으로 구분하였다. 두 양 사이의 관계는 하나의 양을 기준으로 다른 양을 곱셈적으로 비교하는 경우는 종속으로, 두 개의 양을 대등하게 비교하는 경우는 대등으로 구분하였다.

표현은 비와 비율을 교과서에 제시할 때 어떤 표현을 사용하는지를 살펴보기 위한 것이다. 구체적으로 a:b, a→b, a÷b, 하나의 수(즉, 자연수, 분수, 소수 등), 백분율, 어구 등으로 구분하였다.

자료 분석

자료 분석을 위해 Table 2의 분석 기준에 따라 한국과 싱가포르 교과서를 분석하였다. 분석의 신뢰도를 확보하기 위해 총 2차에 걸쳐 분석하였다. 1차 분석은 연구자 2인이 각자 독립적으로 분석하였다. 두 연구자간의 분석의 일치도는 94.4 %였다. 2차 분석은 두 연구자 사이에 일치하지 않는 부분을 중심으로 완전한 합의에 이를 때까지 논의하였는데 합의한 내용을 바탕으로 최종적으로 수정하였다. 예를 들어 싱가포르 교과서의 6A 3단원 Ratio에서 두 양의 비를 분수로 표현하는 활동을 종속 관점으로 분석해야 할지, 아니면 종속과 대등 관점으로 분석해야 할지에 대한 이견이 있었다. 이에 연구자들은 싱가포르 교과서를 다시 살펴보면서 해당 활동에서 강조하고 있는 것이 무엇인지, 한국과 어떤 차이점이 있는지 등에 대한 충분한 논의를 하였다. 싱가포르는 한국과 다르게 두 양을 대등하게 비교하여 a:b와 b:a로 나타내고 이를 각각 분수로 나타내는 것을 강조하므로 종속과 대등 관점으로 분석하는 것이 더욱 적절하다고 합의하였다.

연구 결과

한국과 싱가포르 교과서에서의 비, 비율, 백분율의 설명

한국과 싱가포르 교과서에서의 비, 비율, 백분율에 대한 설명을 정리하면 Table 3과 같다. 한국과 싱가포르에서 비와 비율 관련 용어는 서로 의미하는 바가 다르다. 이에 한국에 제시된 용어는 비, 비율, 백분율로, 싱가포르에 제시된 용어는 ratio, rate, percentage로 구분하여 기술한다. 한국 교과서에서는 비, 비율, 백분율을 6학년 1학기 한 개의 단원에서 제시한다. 각각의 주제를 학습하는 순서는 가장 먼저 비를 도입하고 비를 하나의 수로 나타내는 비율을 학습한 후에 비율을 나타내는 여러 방법 중 하나로 백분율을 제시한다. 먼저 비는 나눗셈 비교 관계라는 것을 강조하며 a:b와 같이 ‘:’를 사용하여 나타낸 것으로 정의한다(Table 3(a) 참고). 비율은 ‘기준량에 대한 비교하는 양의 크기’로 정의하고 이때 비율을 나눗셈 표현 ‘(비교하는 양)÷(기준량)’, 분수 표현 ‘(비교하는양)/(기준량)’과 동시에 제시하고 등호를 사용하여 이들이 서로 같음을 보여준다(Table 3(b) 참고). 즉 한국 교과서에서 비율은 비로 표현한 나눗셈 비교 관계를 하나의 수로 나타낸 것으로 ‘비 10:20을 비율로 나타내면 10/20 또는 0.5’로 표현할 수 있다. 백분율은 ‘기준량을 100으로 할 때의 비율’로 정의하고 이를 나타내는 방법으로 기호 %를 사용한다고 제시한다(Table 3(c) 참고). 이러한 정의 및 설명을 고려하면 한국에서는 백분율은 모든 비율을 기준량을 100으로 하여 나타낸, 분수와 소수 등과 같이 비율을 표현하는 하나의 방법으로 다루고 있음을 알 수 있다. 주목할만한 점은 비, 비율, 백분율은 대부분 종류가 같은 양을 비교하는 상황에서 다루어지고, 비율과 관련하여서만 종류가 다른 양을 비교하는 상황(예, 시간에 대한 거리의 비율, 넓이에 대한 인구의 비율 등)이 몇 차례 제시된다는 것이다. 그러나 용어의 정의를 감안하면, 한국은 비와 비율에 같은 종류의 양을 비교하는 상황과 다른 종류의 양을 비교하는 상황이 모두 포함된다는 것을 알 수 있다.

Table 3. Explanation of ratio, rate and percentage in Korean and Singaporean textbooks

싱가포르 교과서에서는 ratio, rate, percentage를 5A, 5B, 6A, 6B에 걸쳐 각 주제당 2개의 단원, 총 6개의 단원에서 지속적으로 제시한다. 각각의 주제를 학습하는 순서는 가장 먼저 5A에서 ratio를, 5B에서 percentage와 rate를 순서대로 도입하고, 6A에서 ratio와 percentage를 더욱 확장하여 다루고, 6B에서 rate의 대표적인 경우인 speed에 대해 다룬다. 각 단원을 도입할 때는 관련된 상황과 함께 빅 아이디어가 제시된다. 먼저 5A에서 ratio를 서로 같은 종류의 양을 나눗셈으로 비교할 때 그 비교를 나타내는 방법으로 제시한다(Table 3(d) 참고). Ratio는 5A에서 ‘:’ 기호를 사용하고, 6A에서 ‘:’ 기호와 함께 분수로도 표현된다. 한국에서 비를 도입한 이후에 바로 비율 개념이 제시되는 것과 다르게 싱가포르에서는 ratio 다음에 5B에서 percentage가 먼저 제시되고 percentage는 ‘전체의 부분을 표현하는 방법’이고 ‘100 중에 몇을 의미한다’고 설명하고 있다(Table 3(f) 참고). 그런데 percentage를 ratio 및 rate와 연결하기 보다는 ‘100 중에 몇’을 나타내는 방법으로 분수 및 소수 표현과 연결된다. 다음으로 5B에서 rate를 도입하는데 이때 rate는 한 양의 단위량에 해당하는 다른 양을 나타내는 것으로 서로 다른 종류의 양들을 비교할 때 사용한다(Table 3(e) 참고). 즉 rate의 상황은 서로 같은 종류의 양을 비교할 때 사용했던 ratio와는 뚜렷하게 구분된다. Rate 단원에서는 기호’:’를 사용하지 않고 ‘10분 → 750쪽, 1분 →750/75=75’와 같이 화살표를 사용하여 나타낸다. 또한 5B에서는 rate의 단위를 ‘75 pages per minite’와 같이 어구로 제시하고 6B의 Speed 단원에서 비로소 180 m/min와 같은 하나의 단위로 제시한다.

종합하면 한국은 비, 비율, 백분율을 6학년 1학기 한 단원에서 모두 다루고 두 양을 나눗셈적으로 비교하는 같은 상황을 각각 :, 분수 또는 소수, %를 사용해서 어떻게 표현하는가에 따라 구분되는 용어로 본다. 또한 용어의 정의 상, 서로 같은 종류의 양과 서로 다른 종류의 양을 모두 포함하고 있다. 반면에 싱가포르는 ratio, percentage, rate를 5학년에서 도입하고 각각의 용어를 사용하는 상황을 서로 구분하여 각각을 독립된 단원으로 다룬다. 이후 6학년에서 각각의 용어를 다시 다루면서 각각을 표현하는 방법을 더욱 확장한다. 다음 절에서는 한국과 싱가포르 각각의 교과서에서 비, 비율, 백분율을 어떻게 제시하고 있는지를 각 교과서에 제시된 순서대로 기술한다.

한국 교과서에서의 비, 비율, 백분율 관련 내용 전개

Table 4는 한국 교과서의 비와 비율, 백분율 각각의 주제에서 제시된 내용을 분석 기준에 따라 정리한 것이다. 한국에서는 6학년 1학기에 비를 처음 도입하고 같은 단원에서 비와 비율을 연결한 후에 비율의 한 종류인 백분율을 다룬다.

Table 4. Development of ratio, rate and percentage in Korean textbooks

비

한국 교과서에서는 비 개념을 도입하는 2-3차시에서 주로 복수 상황에서 단일 단위를 단독으로 사용한다. 먼저 2차시에서는 비 개념을 도입하기 이전에 비가 나눗셈 비교 상황임을 알도록 돕기 위해 비례가 내재된 복수 상황으로 ‘모둠 수에 따른 준비하는 사람 수와 판매하는 사람 수를 비교’하는 상황을 제시하여 모둠 수가 늘어날 때 준비하는 사람 수 6명과 판매하는 사람 수 3명이 어떻게 변화하는지 단일 단위인 1명을 단독으로 사용하여 표현한다(Figure 1(a) 참고). 하지만 2차시에는 이를 비로 표현하지 않고 두 수를 뺄셈으로 비교하면 그 차이는 3명, 6명, 9명 등으로 변하지만, 나눗셈으로 비교하면 2배로 일정하다는 것을 경험하도록 한다. 3차시에서는 2차시와 똑같은 방법으로 포도주스 만들기에 필요한 물의 양과 포도 원액의 양을 비교하는 복수 상황을 제시하여 포도주스 병의 개수가 늘어남에 따라 물의 양 3컵과 포도 원액의 양 2컵이 어떻게 변화하는지 단일 단위인 1컵을 단독으로 사용하여 나타낸다(Figure 1(b) 참고). 이를 통해 위와 같이 ‘두 수를 나눗셈으로 비교하기 위해 기호 :을 사용하여 나타낸 것’을 비라고 정의한다(Table 3(a) 참고). 그러나 3컵과 2컵을 비로 표현할 때 ‘컵’이라는 단위를 붙이지 않고 3:2로 표현한다는 것이 명시적으로 제시되지는 않는다. 또한 3컵과 2컵 이외에 6컵과 4컵, 9컵과 6컵 등의 관계는 주어진 표에 제시하는 정도에 그치고 비의 정의 및 표현과는 구체적으로 연결하지 않는다. 이외에 각각의 차시에서 높이가 300 cm인 나무와 나무의 그림자 길이 100 cm를 비교하거나, 출발점에서 장애물까지 거리와 장애물에서 도착점까지 거리의 비를 구하는 단일 상황도 제시된다.

관계 측면에서는 3컵과 2컵을 비교하는 상황과 같이 모두 같은 종류의 양을 비교하는 상황을 제시한다. 또한, 비 개념을 설명하는 과정에서 기준량과 비교하는 양을 명시함으로써 두 양 중에서 기준량과 비교하는 양을 정확하게 구분하고, 비를 읽는 방법도 ‘3 대 2’, ‘3과 2의 비’, ‘3의 2에 대한 비’, ‘2에 대한 3의 비’로 네 가지 방법을 모두 제시하여 기준량을 강조하여 읽도록 한다(Table 3(a) 참고). 두 양 중에서 기준량이 고정되어 있고 그에 따라 다른 양을 비교하는 것이므로 두 양의 종속적인 관계에 더 초점을 두고 있음을 알 수 있다. 예를 들어 3차시의 활동 2에서 판매 금액 1,000원 당 300원을 기부하는 상황에서 “슬기는 판매 금액에 대한 기부 금액의 비를 1,000:300으로도 나타낼 수도 있다고 생각했습니다. 슬기의 생각이 맞을까요?”(MOE, 2022a, p. 77)라고 질문함으로써 해당 상황은 판매 금액이 기준이므로 1,000:300이 아닌 300:1,000으로 나타내야 한다는 것을 직접적으로 다루고 있다.

* 6-1-4-2. means Grade(6)-Semester(1)-Lesson (4. 비와 비율)-Period(2)

Figure 1.Main activites of 6-1-4. 비와 비율 (MOE, 2022a, pp. 74, 76)

비율

한국 교과서에서 비율은 4, 5차시 두 차시에 걸쳐 제시되는데 4차시는 같은 종류의 양을 비교하는 상황에서 비율 개념을 도입하는 반면에 5차시는 비율이 사용되는 여러 경우를 알아보기 위해서 같은 종류뿐만 아니라 다른 종류의 양을 비교하는 상황까지 포함한다. 구체적으로 2차시와 3차시에서 비 개념을 비례가 내재된 복수 상황으로 제시하고 있지만 비율 개념을 처음 도입하는 4차시에서는 ‘도넛 20개 중에서 10개를 판매한 상황에서 판매한 도넛 수는 처음에 있던 도넛 수의 몇 배인지’ 등을 알아보게 하는 단일 상황을 제시하여 1개라는 단일 단위를 단독으로 사용하도록 한다(Figure 2(a) 참고). 이때에는 모두 같은 종류의 양을 비교하는 상황을 제시하고, 비 10:20에서 10은 비교하는 양, 20은 기준량이라는 말풍선을 제시하여 비교하는 양과 기준량의 위치를 강조한다(Table 3(b) 참고). 또한 ‘기준량에 대한 비교하는 양의 크기를 비율’이라고 정의함으로써 양 사이의 종속적인 관계를 강조하고 ‘(비율)=(비교하는 양)÷(기준량)= (비교하는 양)/(기준량)’으로 제시함으로써 나눗셈 및 분수 표현과 연결한다. 이때 활동에서 판매한 도넛 수는 처음에 있던 도넛 수의 몇 배인지를 분수와 소수로 나타내는 상황이 비율을 구하는 과정임을 제시하고 있으나 이후의 비율을 구하는 상황에서 ‘몇 배’라는 용어는 따로 사용하지 않는다.

5차시는 흰색 물감 200 mL에 검은색 물감 6 mL를 섞는 상황처럼 단일 상황에서 단일 단위를 단독으로 사용하고 양 사이의 종속 관계를 강조한다는 점에서 4차시와 유사하나, 서로 다른 종류의 양을 비교하는 상황(예, 걸린 시간에 대한 간 거리의 비율, 두 지역의 넓이에 대한 인구의 비율)도 포함되어 있다는 점에서 차이가 있다(Figure 2(b) 참고). 주목할 만한 점은 서로 다른 종류의 단위(예, 2시간에 300 km)를 제시하지만 비율을 하나의 수(예, 300/2=150)로만 표현하고 단위량에 해당하는 양(즉, 1시간 당 150 km 또는 150 km/h)으로 제시하지는 않는다는 것이다. 각각의 단위와 양 사이의 관계를 고려하기 보다는 수적으로 접근한다는 점에 단위 사용은 각각의 단일 단위를 단독으로 사용하고 있음을 알 수 있다. 또한, 4차시에서 같은 종류의 양을 비교할 때에는 a:b와 분수 표현을 모두 사용한 것과 다르게 5차시에서 서로 다른 종류의 양을 비교할 때에는 비 표현은 따로 제시되지 않고 분수 및 소수 표현만 사용한다.

Figure 2.Main activites of 6-1-4. 비와 비율 (MOE, 2022a, pp. 78, 80)

백분율

한국은 백분율을 ‘기준량을 100으로 할 때의 비율’로 정의하여 비율의 한 종류로 다루기 때문에 비율 차시와 연결하여 6-7차시에서 단일 상황에서 단일 단위를 단독으로 사용한다(Table 3(c) 참고). 예를 들어 “티셔츠는 50벌 중 40벌이 판매되었고, 바지는 20벌 중 17벌이 판매”(MOE, 2022a, p. 82)되었을 때 두 판매율을 비교하기 위해서 기준량을 100으로 같게 하여 비교할 수 있음을 제시한다. 80/100과 85/100를 비교하여 판매율이 더 높은 것을 찾도록 하고 이때 ‘비율 를 85 %라고 쓰고 85퍼센트’라고 읽는다고 제시한다. 또한 모두 같은 종류의 양을 비교하는 상황으로 제시된다. 구체적으로, 전체 티셔츠 50벌 중 판매된 40벌처럼 전체와 부분의 비교뿐만 아니라 화단 넓이와 텃밭 넓이 비교처럼 부분과 부분을 비교하는 경우도 다룬다. 백분율을 ‘기준량을 100으로 할 때의 비율’이라고 정의한다는 측면에서 양 사이의 종속 관계를 강조한다는 것을 알 수 있다. 비율을 분수, 소수로 나타냈을 때와 달리 백분율에서는 소수 표현과 백분율 사이의 관계를 명시적으로 나타내고 있지는 않다. 백분율에 제시된 문제는 모두 기준량이 100의 약수나 배수인 수로 제시되어 있어 기준량을 100으로 만들기 용이하고 백분율을 구하는 방법을 직접 제시하고 있다(Figure 3 참고). 특히 (비율)×100으로 구한 후 기호 %를 붙이는 것은 분모를 100으로 만들기 어려운 경우에도 활용가능한 방법이지만 비율에 100을 곱한 수에 %를 붙이면 왜 백분율이 되는지에 대한 설명은 구체적으로 제시되어 있지 않으며 이후 이 방법을 활용하여 해결하는 문제도 제시되지 않는다.

Figure 3.Expressing a fraction as a percentage (MOE, 2022a, p. 83)

싱가포르 교과서에서의 ratio, percentage, rate 내용 전개

Table 5는 싱가포르 교과서의 ratio, percentage, rate 등의 각각의 주제에서 제시된 내용을 분석 기준에 따라 정리한 것이다. 싱가포르는 5A에서 ratio를 처음 도입하고 5B에서 percentage와 rate를 다룬 후에 6A에서 ratio와 rate를 5학년 때 학습한 내용을 심화하여 다시 다루고 6B에서 rate의 한 종류인 속력을 집중적으로 제시한다.  

Table 5. Development of ratio, rate and percentage in Singaprean textbooks

* Note: This is the case where natural numbers, fractions, and decimals are all presented.

Ratio

1) 5A 교과서

싱가포르에서 ratio는 5A 7. Ratio 단원에서 도입하는데 모두 단일 상황에서 다양한 단위를 단독 또는 중복하여 사용하고 같은 종류의 두 양을 대등의 관점에서 비교한다. 구체적으로 단일 단위인 1자루를 단독으로 사용하여 펜 2자루와 연필 3자루를 비교하여 2:3 또는 3:2로 나타내고(Figure 4(a) 참고), 다음으로 합성 단위인 2개씩 1봉지를 단독으로 사용하여 당근 3봉지와 오이 4봉지를 비교하여 3:4 또는 4:3으로 나타낸다(Figure 4(b) 참고). 이 과정에서 당근과 오이가 각각 6개, 8개 있다고 해서 ratio를 반드시 6:8로 표현해야 하는 것은 아님을 설명한다. 양을 측정하는 단위가 같다면(즉, 2개씩 1봉지) 그 단위를 이용해서 ratio로 나타낼 수 있음을 보여준다. 이후에 연속량 단위인 1 kg을 이용하여 2 kg과 9 kg을 비교하여 2:9 또는 9:2로 나타낸다(Figure 4(c) 참고). 이 부분에서도 양을 측정하는 단위가 같다는 것을 강조하고 ratio에 2 kg:9 kg과 같이 단위를 포함하지 않는다는 것을 설명한다. 또한 미지 단위 즉, 부정량으로 측정한 양도 ratio로 나타낸다(Figure 4(d) 참고). 이를 통해 ratio는 kg, 자루 등 특정한 측정단위가 아니더라도 서로 같은 단위로 측정한 경우에는 3:8과 같이 나타낼 수 있음을 알게 한다. 특히 싱가포르에서는 한국과 다르게 기준량과 비교하는 양이 무엇인지를 구분하는 것에 초점을 두기보다는 두 양을 비교하기 위해 a:b 또는 b:a로 모두 표현할 수 있다는 것을 전반에 걸쳐 지속적으로 보여주므로 대등의 관점을 취하고 있다고 할 수 있다. 또한 두 양을 비교하는 상황은 두 양을 모두 합한 전체와 각각의 양을 비교하는 상황과도 연결된다는 것을 보여준다. 이에 한 가지 상황을 부분A:부분B, 부분A:전체, 전체:부분B 등의 다양한 ratios로 표현한다.  

* 5A-7-1 means Grade(5A)-Chapter(7. Ratio)-Lesson (1. Finding Ratios)

Figure 4.Main activites of 5A-7. Ratio (Kheong et al., 2017a, pp. 119-122)

다음으로 5A-7-2에서 단일 상황의 두 양 즉, 사과 4개와 배 8개를 여러 단위(즉, 1개, 2개씩 1묶음, 4개씩 1묶음)를 중복하여 사용하여 같은 상황을 4:8, 2:4, 그리고 1:2로 나타내는 활동을 통해서 동치비(equivalent ratios)를 도입한다(Figure 5(a) 참고). 이는 하나의 상황에서 측정 단위의 크기만 같다면 두 양을 여러 단위로 측정할 수 있고 그 단위의 크기에 따라 같은 상황이 다양한 ratios로 표현된 것이므로 이러한 활동은 동치비와 자연스럽게 연결된다. 또한 하나의 상황에 대한 다양한 ratios의 관계를 통해 전항과 후항에 같은 수를 곱하거나 나누어도 동치비를 구할 수 있고, 두 양의 공약수로 나누어서 가장 간단한 정수비로 표현할 수 있다는 것을 보여준다(Figure 5(b) 참고). 전항과 후항이라는 위치에 해당하는 용어를 명시적으로 제시하기 보다는 앞에서 활동한 내용과 연결하여 ratios의 같은 위치의 수들을 화살표로 연결하여 같은 수를 곱하거나 나누면 동치비를 만들 수 있음을 제시한다.

Figure 5.Main activites of 5A-7. Ratio (Kheong et al., 2017a, pp. 124-125)

주목할 만한 점은 해당 단원 전반에 걸쳐 ratio를 표현할 때에는 a:b 또는 b:a만 제시된다는 것이다. 빅 아이디어에서 두 양을 나눗셈으로 비교할 수 있고 그것을 ratio로 표현한다고 설명하였지만 활동 전반에 걸쳐 두 양의 나눗셈 비교 관계나 나눗셈 표현은 제시되지 않는다. 또한 빨간색과 노란색을 1:2로 섞어서 주황색 물감 만드는 단원 도입 맥락을 제외하고는 두 양의 나눗셈적 비교의 필요성이 상황에서 명시적으로 드러나지는 않는다. 또한 ratio를 분수 표현과 바로 연결하지 않고 여러 상황에서 두 수를 비교하고 a:b 형태로 나타내는 활동에 초점을 둔다. 비를 분수 표현과 연결하는 것은 해당 단원 마지막에 간단하게 질문 형식으로 제시하고 있지만 직접적으로 연결하기 보다는 4/10와 4:10을 가장 간단한 형태로 바꾸었을 때 어떤 공통점이 있는지 탐구해보는 정도로만 다룬다. 싱가포르는 세 양을 비교하여 ratio를 a:b:c와 같이 표현하는 내용도 제시된다. 내용의 전개는 두 양을 비교하는 내용의 전개와 유사한 방법으로 진행된다. 또한 싱가포르는 5A에서부터 우리나라의 비례식이나 비례배분에 해당하는 다양한 문장제를 제시한다.

2) 6A 교과서

Ratio는 6A 교과서의 3단원에서 심화된 내용으로 다시 제시된다. 먼저 6A-3-1에서 ratio와 분수를 다룰 때에는 모두 단일 상황에서 단일, 합성, 미지 단위를 단독 또는 중복으로 제시하여 5A 교과서와 유사한 상황으로 제시한다. 반면에 6A-3-2에서 ratios를 비교하는 주제에서는 복수 비례 상황을 제시하여 5A 교과서에 제시된 상황보다 더 확장한다. 구체적으로 밀크티를 만드는 데 사용한 티와 밀크의 양을 컵의 크기에 따라 표로 나타내고 먼저 각각의 양을 180:60, 270:90, 360:120 등과 같은 ratio로 표현한 후 5A 교과서에서 학습한 내용을 바탕으로 이들을 모두 간단한 정수비로 나타내면 3:1이라는 것을 보여준다. 이후에 또 다른 복수 비례 상황에서 가장 간단한 정수비로 나타내는 활동까지 위와 동일하게 진행하고 이를 하나의 분수로 나타내어 서로 모두 같음을 보여준다. 양의 종류는 5A와 동일하게 같은 종류의 양을 비교하는 상황만 제시된다. 또한 하나의 상황을 a:b와 a/b뿐만 아니라 b:a와 b/a로도 나타낸다는 측면에서 대등의 관점과 종속의 관점을 모두 취하고 있음을 알 수 있다.

Ratio를 분수 표현과 연결하는 것은 5A 교과서와 가장 차별화되는 부분이다(Figure 6 참고). 주목할 만한 점은 한국은 ratio를 분수로 나타낸 것을 비율로 보는 반면에 ratio를 분수로 나타낸 것을 비율이라고 하지 않고 그냥 분수로 표현한다는 점이다. 또한 ratio를 분수로 표현할 때에도 기준량과 비교하는 양이 무엇인지를 구분하기보다는 ratio에서 앞에 있는 양은 분자, 뒤에 있는 양은 분모라고 설명한다. 이는 5A에서 비교하는 양과 기준량이 무엇인지, 전항과 후항이 무엇인지를 명시적으로 제시하지 않았기 때문에 다소 절차적으로 진행되는 면이 있다. 즉 ratio를 분수로 표현할 때 왜 앞에 있는 수가 분자이고, 뒤에 있는 수가 분모가 되는지를 개념적으로 설명하지 않는다. 대신에 5A에서 a:b와 b:a를 모두 표현하도록 하였던 것과 동일하게 2:5를 2/5로, 5:2를 5/2로 나타낸다는 것을 명시적으로 다룬다. 복수 비례 상황에서도 각각의 비를 모두 간단한 정수비로 바꾸는 것까지 동일하게 제시되고 간단한 정수비 4:3을 분수 4/3로 표현하게 하여 ratios와 분수의 관계를 파악해보도록 한다. 또한 ratio를 분수로 표현하는 과정에서 부분:부분, 부분:전체 등을 모두 다루고 1:b와 a:1과 같은 형태의 가장 간단한 정수비로 표현하도록 하여 “어른의 인원은 어린이의 1/3”, “어린이 인원은 어른의 3배”(Kheong et al., 2018a, p. 72) 등과 같이 두 양 사이의 곱셈적 관계를 분수나 배 용어를 사용하여 표현한다.

Figure 6.Main activites of 6A-3. Ratio (Kheong et al., 2018a, p. 69)

Percentage

1) 5B 교과서

싱가포르 교과서에서 percentage는 5B 10단원에서 도입하는데, ratio나 rate와 다르게 구체적인 맥락이나 상황을 제시하지 않고 100개의 똑같은 부분으로 나뉘어진 정사각형을 제시하여 100개 중의 하나가 1 %임을 설명한다. 또한 “1 %를 one percent라고 읽는다”, “1 %와 75 %는 percentage라고 한다”(Kheong et al., 2017b, p. 50)를 통해 두 용어를 구분하고 있음을 알 수 있다. 즉, percent는 기호 %를 읽을 때 사용하고 percentage는 1%, 75% 등을 의미한다. 구체적인 상황은 아니지만 하나의 단일 상황에서 1/100을 단일 단위로 사용하여 나타내거나 1/100과 함께 1/10또는 1/5 등을 함께 중복하여 사용함으로써 60 %는 60/100이고 기약분수로 나타내어 3/5이라는 것을 보여준다. 이후 percentage에서는 서로 같은 종류의 양 중에서도 부분과 전체를 비교하는 상황이고, 100을 기준으로 부분을 표현함으로써 종속 관점으로 제시한다. 또한 percentage를 분수와 소수 표현과 연결하는 활동을 체계적으로 제시하고 있다. 특히 분수를 percentage로 나타내는 활동에서는 분모가 100의 약수인 분수, 분모가 100의 배수인 분수, 분모가 100의 약수도 배수도 아닌 분수를 제시하여 체계적으로 지도하고 있다. 분수나 소수를 percentage로 표현하는 방법 역시 다양하게 제시하고 있다(Figure 7(a) 참고). 그러나 백분율을 구하기 위해 방법 3처럼 (소수)×100 %를 하는 이유나, (분수)×100 %를 하는 이유에 대한 구체적인 설명은 제시되어 있지 않다. 물론, 앞서 1이 100/100이고 100 %라는 것을 학습하였으므로 방법 1과 2로 방법 3을 유추할 수도 있지만 교사가 그 연결 관계를 명확히 알고 학생들이 이해할 수 있는지 확인할 필요는 있을 것이다. 이후 주어진 퍼센트와 그에 해당하는 양을 화살표를 사용하여 서로 대등한 양으로 보고 양들 사이의 관계를 이용해서 문제를 해결하게 하기도 한다. 예를 들어 좌석 400개의 80 %가 몇 개인지 구하는 문제에서 ‘100 %→400, 1 %→400÷100=4, 80 %→4×80=320’임을 알 수 있다(Figure 7(b) 참고). 특히 전체와 percentage가 주어질 때 공통적인 문제해결 방법으로 100 %→전체이면 1 %→□의 형태를 지속적으로 활용하고 있다. 이를 통해 단위량에 해당하는 크기가 중요함을 강조하고 있음을 알 수 있다. 하지만 percentage를 ratio나 rate와 관련지어 다루지는 않는다.

Figure 7.Main activities of 5B-10. Percentage (Kheong et al., 2017b, pp. 55, 60)

2) 6A 교과서

6A 4. Percentage 단원에서는 실생활에서 접할 수 있는 percentage를 제시하여 다양한 상황에서 문제를 해결하도록 한다. 120 %와 같이 100 %가 넘는 percentage를 다루기도 한다. 구체적으로 단일 상황에서 단일 단위와 합성 단위를 단독 또는 중복으로 사용하여 다양한 문장제를 해결하도록 한다. 예를 들어 60개 중에서 33개는 33/60×100 %로 해결하거나 60개가 100 %이면 1개는 100 %÷60이므로  1 2/3 %이고 그러므로 33개는 1 2/3 %×33을 하여 구하게 한다. 또는 반대로 15 %에 60명이면 1 %는 60÷15이므로 4명이고 100 %는 400명임을 구하게 한다. 이처럼 부분을 percentage로 나타내도록 하거나 percentage가 주어졌을 때 전체를 구하는 문제와 percentage나 전체가 증가하고 감소할 때와 관련된 여러 문장제가 제시되고 있다. 이러한 문장제를 해결하면서 5B의 10. Percentage에서와 마찬가지로 공통적인 문제 해결 방법으로 1 %일 때의 값을 구하는 것을 강조하고 있다. 이외에 양 사이의 관계나 percentage를 분수 및 소수와 연결하여 다양하게 나타내는 것은 5A와 유사하다.

Rate

1) 5B 교과서

싱가포르에서 rate는 5B 12단원에서 도입하는데 rate를 먼저 단일 상황(예, 10분에 750쪽을 프린트하는 프린터) 및 복수 상황(예, g당 내야하는 항공우편의 비용)에서 단일 단위(예, 1분, 1쪽) 및 합성 단위(예, 15분)를 각각 단독 또는 중복으로 사용한다. 구체적으로 서로 다른 종류의 양(예, 분과 쪽 수)이 관련된 하나의 상황에서 두 개의 단위(예, 1분, 1쪽)를 각각 단독으로 사용하여 10분에 해당하는 양이 750쪽일 때, 1분에 해당하는 양은 750/10이라는 것을 보여준다(Table 3(e)참고). 이때 나온 75는 1분당 프린트되는 쪽 수라는 것을 설명하고 rate를 ‘분당 75쪽’과 같이 두 개의 단위가 합성(또는 중복)된 또 다른 단위를 어구로 표현하여 설명한다.

두 양 사이의 관계는 모두 서로 다른 종류의 양을 비교하는 상황이며 대등한 두 양(즉, 1시간에 150 L, 1 L에 1/150시간, 750 L에 5시간)으로 이루어진 상황으로 제시된다(Figure 8 참고). 이 과정에서 분수 표현과 나눗셈 표현이 제시되지만 각각의 값이 비율 즉 내포량을 의미하기 보다는 어떤 양 1에 해당하는 다른 종류의 양 즉 외연량을 나타낸다. 예를 들어 10분에 750쪽을 프린트하는 프린터가 1분에 몇 쪽을 프린트하는지를 구하는 것을 비율을 구하는 과정으로 보여준다. 이에 해당하는 양을 750/10이라고 표현하고 여기에서 rate는 750/10이라는 하나의 수보다는 하나의 어구 ‘분당 75쪽’으로 설명한다. 이러한 과정은 등분제와 직접적으로 연결할 수 있다. 또한 ‘시간당 150 L’를 ‘L당 몇 시간’인지를 구하기 위해서 1÷150과 같은 나눗셈으로 표현하고 이를 분수로 바꾸지만 위와 같이 하나의 외연량을 구하는 과정이다.

Figure 8.Main activities of 5B-12. Rate (Kheong et al., 2017b, p. 86)

특히 unit rate를 이용해서 다른 양에 해당하는 값을 구하는 활동에 초점을 두고 우리나라의 비례식과 비례배분에 해당하는 다양한 문장제를 해결하도록 한다. 이때 비례식의 성질(즉, 외항의 곱과 내항의 곱은 같다.)을 사용하기 보다는 제시된 rate를 unit rate로 바꾸고 이를 이용하여 문제를 해결하도록 한다. 이는 전항과 후항에 각각 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누어도 비가 같다는 비의 성질을 이용하는 방법과 연결할 수 있다.

2) 6B 교과서

6B에서는 rate의 대표적인 경우인 속력을 다룬다. 속력에서 ‘(속력) = (거리) ÷ (시간)’과 같이 나눗셈 표현이 내포량과 명시적으로 연결된다(Figure 9 참고). 이 경우에는 서로 다른 두 양을 나누는 것이므로 이를 통해 구한 하나의 수는 내포량을 나타내고 이를 가리키는 새로운 단위가 제시된다(예, m/min). 역시 단위 비율을 이용하여 문제를 해결하도록 하고 m/min, m/s, km/h와 같이 속력을 나타내는 다양한 단위가 제시되어, 단위 환산을 하도록 한다.

Figure 9.Main activites of 6B-7. Speed (Kheong et al., 2018b, p. 8)

요약하면, 한국은 비와 비율을 구분하는 데 표현 형식(즉, 비는 a:b, 비율은 a/b 또는 소수, % 등)이 중요한 역할을 하는 반면에 싱가포르는 각각을 의미상으로 명백하게 구분하고 있다. Table 3과 같이 한국에서 비는 ‘두 수를 나눗셈으로 비교하기 위해 기호 :을 사용하여 나타낸 것’으로, 비율은 ‘기준량에 대한 비교하는 양의 크기’이고 ‘(비율) = (비교하는 양) ÷ (기준량) = (비교하는 양)/(기준량)’으로, 백분율은 ‘기준량을 100으로 할 때의 비율’이고 ‘기호 %를 사용’하여 나타낸 것으로 제시한다. 즉 한국은 각각의 용어에 대한 정의나 설명과 함께 특정 표현 방식을 명시적으로 제시한다. 반면에 싱가포르는 ratio는 서로 같은 종류의 양을 비교하는 상황에서 ‘양을 나눗셈적으로 비교’하는 것으로, rate는 서로 다른 종류의 양을 비교하는 상황에서 ‘단위량 당 크기’로, percentage는 ‘전체 중에 부분을 표현하는 또 다른 방법’으로 제시한다. 각각의 표현은 용어를 설명할 때 제시되기 보다는 활동에서 다양한 방법으로 나타난다. 구체적으로 ratio는 a:b뿐만 아니라 a/b로, rate는 단위량 당 크기를 보여주는 어구(예, pages per minute) 또는 내포량을 나타내는 다양한 단위(예, m/min)등과 함께 자연수, 분수, 소수 등으로 제시된다.

논의

한국과 싱가포르 교과서의 비와 비율에 대한 관점 논의

한국과 싱가포르 교과서의 비와 비율에 대한 관점에는 많은 차이가 나타났다. 두 나라의 교과서에서 비와 비율을 바라보는 관점을 선행 연구와 비교하면, 한국은 Table 1의 <관점 2b >, 싱가포르는 <관점 2a >와 연결할 수 있다. 여러 다양한 관점 중에서 한국은 비를 하나의 관계로, 비율을 하나의 양으로 본다는 측면에서<관점 2b >에 가장 가깝다(Jeong, 2003b). 하지만 더 구체적으로 살펴보면 한국은 <관점 2b >에 완전히 속한다고 보기는 어렵다. 즉, 기존의 선행연구에서 취한 여러 관점과는 구분되는 독립적인 관점으로 볼 수 있다. 구체적으로 비와 관련하여 <관점 2b >의 Lesh 외 (1988)는 ‘양의 순서쌍이 포함된 이항 관계’로 정의하지만, 한국은 그 중에서도 ‘:’를 사용하여를 사용하여 표현한 이항 관계만 비로 보고 있다. 또한, 비율과 관련하여 Lesh 외 (1988)는 비율은 내포량으로, 분수는 외연량으로, 몫은 이항 연산으로 따로 구분하는 반면에 한국은 비율을 나눗셈 표현 및 분수 표현과 등호로 연결하여 서로 같다고 제시하고 나눗셈 및 분수와 구분되는 비율만의 의미를 강조하고 있지는 않다. 또한 비율의 정의에서도 기준량과 비교하는 양을 비교할 때 기준량 전체에 대한 비교하는 양 전체의 관계를 설명하고 있지만 그 관계를 하나의 수로 나타냈을 때 그 수, 즉 비율이 무엇을 의미하는지를 파악하기에는 어려움이 있다. Lesh 외 (1988)의 관점에서 내포량은 두 외연량의 나눗셈을 통해 구할 수 있지만 내포량이 가지고 있는 의미는 ‘한 양의 단위량에 해당하는 다른 양의 크기’로 “dollars-per-dollars, miles-per-hour”(p. 109)와 같이 ‘단위량 당’을 강조하는 어구나 단위와 함께 제시된다. 이에 비해 한국은 서로 다른 종류의 외연량 사이의 관계를 하나의 양으로 표현할 때에도 단위를 제시하지 않고 하나의 수로만 마치 스칼라처럼 제시한다(Figure 2(b) 참고). 또한 Lesh 외 (1988)는 같은 종류의 외연량 사이의 관계를 수로 나타낸 스칼라도 특정한 내포량으로 보고 있으므로 이러한 측면에서 보면 한국에서 전체와 부분에 대한 비교 또는 서로 다른 두 대상의 비교를 다루는 백분율은 특정한 종류의 비율로 볼 수 있다. 하지만 한국에서는 백분율을 ‘기준량을 100으로 할 때의 비율’로 정의하기 때문에 정의상으로만 보면 특정한 종류의 비율보다는 모든 종류의 비율을 %를 사용하여 나타낸 것으로 해석할 수 있다(Table 3(c) 참고). 이는 서로 다른 종류의 양 사이의 비율(예, 2 km/h)도 기준량을 100으로 하면, 기호 %를 사용하여 나타낼 수 있다고 해석할 여지가 있으므로 백분율을 비율을 표현하는 방법 중에 하나로만 제시하는 데에는 재고의 여지가 있다.

싱가포르는 <관점 2a >와 일맥상통한다. 싱가포르는 <관점 2a >와 같이 ratio를 서로 같은 종류의 양 중에서도 주로 부분과 부분을 비교하는 경우로, rate를 다른 종류의 양을 비교하는 경우로 구분한다. 또한 ratio와 rate를 표현 방식으로 구분하지 않고 모두 분수 또는 소수 등으로도 표현하는 것 역시 동일하다. 특히 rate는 한 단위에 해당하는 양으로 제시하여, rate의 의미를 unit rate로 제시한다. 따라서 내포량을 명시적으로 나타내는 단위나 어구(예, pages per minute)가 항상 함께 제시된다. Percentage와 관련하여 싱가포르는 percentage를 한국과 다르게 ratio나 rate와 직접적으로 연결하지 않고 독립적으로 다루는데 이는 <관점 2a >의 Vergnaud (1988)가 전체와 부분의 양을 비교할 때는 분수로 따로 구분하는 것과 연결할 수 있다.

종합하면 한국은 같은 상황도 그 관계를 어떻게 표현하는지에 따라 비, 비율, 백분율을 구분할 수 있으므로 각 주제를 서로 밀접하게 연결하여 다룰 수 있다는 장점이 있는 반면에 표현 방법 차이 이외에 각각을 사용하는 상황이나 의미에 어떠한 차이가 있는지를 파악하는 데에는 한계가 있다. 싱가포르는 각 용어를 사용하는 상황이 구분되기 때문에 각각의 의미를 독립적으로 파악할 수 있으나 모두 하나의 양에 대한 다른 양을 비교하는 상황이라는 측면에서 비, 비율, 백분율이 서로 연결된다는 것을 파악하는 데에는 한계가 있다.

이에 한국 교과서는 비와 비율에 대한 관점을 조정하고 이를 보다 명확하게 제시할 필요가 있다. 선행 연구(Table 1 참고)와 싱가포르 교과서의 비와 비율에 대한 관점은 서로 다르지만 표현 방식보다는 상황이나 의미 측면에서 구분하고 있다는 공통점이 있다. 그렇기 때문에 비와 비율의 각각의 의미가 비교적 뚜렷하게 드러난다. 그러나 한국은 표현 방법에 따라 구분하여 각각의 중요한 의미가 잘 드러나지 않는다. 특히 한국에서 백분율을 비율의 표현 방법 중 하나로 취급하는 것은 혼란을 유발할 수 있다. 한국에서 비율은 서로 같은 종류의 양의 비교와 서로 다른 종류의 양의 비교를 모두 포함하고 있기 때문이다. 이러한 혼란을 줄이기 위한 하나의 방법으로 Kim (2015)과 Lee 외 (2015)가 제안한 바와 같이 비와 비율에 대한 관점을 조정하여 같은 종류의 양과 다른 종류의 양의 비교에 해당하는 용어를 서로 구분한다면, 백분율을 같은 종류의 양을 비교하는 경우에만 해당하는 것으로 제시할 수 있다. 다른 한편으로, 비와 비율에 대한 현재의 관점(즉 비는 관계, 비율은 하나의 양)을 유지하면서 각각의 진정한 의미가 드러나도록 정의하고, 그에 따라 교수 · 학습 방법을 개선하는 것도 하나의 방법이 될 수 있다. 이에 대해서는 다음 절에서 보다 구체적으로 살펴본다.

한국과 싱가포르 교과서의 비와 비율 내용 전개에 대한 논의

여러 연구에서는 한국에서 비는 a:b로 비율은 a/b로 구분하는 데 초점을 두는 것은 학생들이 양적 추론 측면에서 비와 비율이 가지는 중요한 의미를 충분히 경험하도록 돕는 데에는 한계가 있다고 지적한 바 있다(e.g., Kim 2015; Yim, 2019). 이에 본 절에서는 연구 결과를 바탕으로 한국의 교수 · 학습 방법의 한계점을 논의하고 싱가포르 교과서에서 얻은 시사점을 중심으로 그에 대한 대안을 제안하고자 한다. 특히 비를 하나의 관계로, 비율을 하나의 양으로 보는 한국의 관점을 크게 바꾸지 않고도 양적 추론 측면에서 각 의미에 대해 학생들이 충분한 경험을 하도록 도울 수 있는 방안에 초점을 둔다.

첫째, 맥락 측면에서는 비, 비율, 백분율에서 단일 상황과 복수 상황을 적극적으로 활용하고 하나의 상황에서 단일 단위, 합성 단위, 미지 단위 등을 중복하여 사용하도록 함으로써 학생들이 비, 비율, 백분율의 중요한 의미를 경험하도록 도와야 한다. Freudenthal (1999)은 ratio만의 진정한 의미를 강조하기 위해서 두 ratio를 비교하는 상황에서 ratio의 동치 관계를 설명한다. 이를 통해 internal ratio의 불변성과 external ratio의 일정성을 설명한다. Lamon (2012)과 Thompson (1994) 역시 더 폭넓은 상황에서 나타나는 일정한 ratio를 rate로 보았다. 이는 학생들이 비와 비율의 진정한 의미를 이해하기 위해서는 특정한 두 양을 나눗셈 비교하는 것뿐만 아니라 비 또는 비율의 동치관계나 양 사이의 일정한 비율을 경험하는 것이 중요함을 시사한다. 그러나 한국 교과서는 비, 비율을 나타내는 맥락으로 대부분 단일 상황(예, 처음에 있던 도넛 수와 판매한 도넛 수 비교)에서 한 가지 단일 단위(예, 개)를 단독으로 사용한다. 예외적으로 비와 비율을 도입하기 이전인 2차시(예, 모둠 수에 따른 준비하는 사람 수와 판매하는 사람 수)에서, 비를 도입하는 3차시(예, 포도주스 만들기에 필요한 물의 양과 포도 원액의 양)에서 각각 복수 상황이 제시된다. 특히 2차시에서는 양을 나눗셈으로 비교하도록 함으로써 두 양의 관계가 2배로 일정하다는 것을 경험하도록 한다. 이때 2배는 Freudenthal (1999)의 internal ratio의 불변성과 Thompson (1994)의 일정한 ratio 즉, rate에 해당한다. 그러나 비와 비율을 도입하기 이전에는 일정한 비율을 경험할 수 있는 상황을 제시하지만, 정작 비율을 다룰 때에는 두 비의 비율을 비교하는 정도로만 제시하고 폭넓은 상황에서 일정한 비율을 경험할 수 있는 상황은 제시하지 않는다. 이는 Thompson (1994)이 학생들이 ratio에 대한 자신의 경험을 토대로 반영적 추상화를 통해 rate를 구성해 나간다고 한 것과는 반대되는 전개방식이다. 반면에 싱가포르는 단일 상황과 복수 상황을 제시하고 단일 단위, 합성 단위, 미지 단위를 단독으로 사용하거나 중복하여 사용하는 등 다양하게 제시한다. 또한 두 개의 학년에 걸쳐 이에 대한 경험을 확장해 나가도록 돕는다. 구체적으로 ratio에서 5A에서는 단일 상황에서 여러 단위를 각각 단독으로 사용하는 경험을 제공한 후에, 단일 상황에서 단일 단위, 합성 단위 등을 중복해서 사용하여 동치비라는 개념을 학습한다(Figures 4, 5 참고). 6A에서는 더 폭넓은 상황인 복수 비례 상황을 제시(예, 밀크티를 만드는 데 사용한 티와 밀크의 양 비교)하여 앞에서 배운 내용을 바탕으로 여러 단위를 단독 또는 중복으로 사용하여 가장 간단한 정수비로 나타내는 것을 제시한다. 이때 동치비 및 a/b와 같은 분수 표현을 사용하여 양 사이의 관계가 일정하다는 것을 경험하게 한다. 싱가포르 5A에 제시된 활동을 통해 학생들은 하나의 상황에서 다양한 단위를 중복해서 사용함으로써 Yim (2019)이 제시한 “한 상황에 내재된 서로 다른 비 구조”(p. 275)를 경험하고, 6A에서 복수 상황에서 여러 단위를 중복해서 사용함으로써 “다른 상황에서 공통된 비 구조”(p. 277)를 경험할 수 있다.

둘째, 양 사이의 관계 측면에서는 비, 비율, 백분율에서 하나의 상황에서 양 사이의 일방향적인 종속 관계 뿐만 아니라 대등한 두 양을 양방향으로 서로 비교하는 경험도 함께 제시할 필요가 있다. 한국은 비, 비율, 백분율에서 대부분 기준량이 고정되어 있는 상황에서 비교하는 양의 크기를 표현하는 데 초점을 둔다. 정의에서도 비에서 ‘기호 :의 오른쪽에 있는 양이 기준량, 왼쪽에 있는 양이 비교하는 양’임을 명시하고, 비율 역시 ‘(비교하는양)/(기준량)’으로 표현한다. 백분율 역시 두 양 중 더 큰 수가 기준량 100으로 제시되어 100%보다 작은 백분율로 제시된다. 이에 비해 싱가포르는 ratio에서 두 양을 비교하여 a:b (또는 a/b)와 b:a (또는 b/a)로 모두 표현해보도록 한다. 또한 rate에서도 두 가지 rate (예, 1 h당 150 L, 1 L당 1/150 h)를 모두 경험하게 한다(Figure 8 참고). Percentage 역시 두 양 중 더 작은 양을 기준량 100으로 두고 120 %와 같은 표현도 제시한다. 이와 같이 양 사이의 종속 관계뿐만 아니라 대등 관계를 함께 강조한다면 비, 비율, 백분율은 두 양을 나눗셈으로 비교하는 상황이라는 것을 더욱 강조할 수 있다. 또한 학생들이 상황에 따라 두 양 중에서 어떤 양을 기준량으로 할지를 직접 정하고 이를 바탕으로 비교하는 양을 기준량의 단위량에 해당하는 양으로 표현하는 것이 비, 비율, 백분율의 핵심이라는 것을 이해하는 데 도움을 줄 수 있다. Yim (2020) 역시 각각의 개념을 표현이나 읽는 방법 등 형식적인 측면에 초점을 맞추기 보다 개념적인 측면을 강조하기 위해서 “무엇이 무엇의 몇 배인지를 알아볼 것인지를 스스로 정하는 경험이 충실히 제공되어야 한다”(p. 316)고 제안한 바 있다.

셋째, 양의 종류 및 표현 측면에서는 한국에서는 비와 비율을 서로 다른 종류의 양의 비교까지 포함하고 있으므로 이를 고려하여 비와 비율의 의미가 잘 드러나도록 각각을 표현하는 방법 및 과정을 보다 세심하고 명시적으로 제시할 필요가 있다. 비와 관련하여 한국은 6학년 1학기에 서로 다른 종류의 양을 a:b로 표현하지는 않지만 정의상으로는 양의 종류에 대한 구분을 하지 않으며, 이후 6학년 2학기에 “주차장의 가로의 길이 30 m와 주차할 수 있는 자동차의 수 12대”(MOE, 2022b, p. 73)와 같이 서로 다른 종류의 양도 a:b (즉, 30:12)로 표현한다. 하지만 이러한 서로 다른 종류의 양을 비로 나타내는 방법은 명시적으로 제시하지 않는다. 이에 비해 싱가포르는 ratio를 표현할 때에는 두 양을 측정하는 단위가 같아야 하고, 양의 단위가 같다면 그것이 단일 단위(즉, 이산량 단위, 연속량 단위), 합성 단위, 미지 단위 상관없이 모두 비로 나타낼 수 있다는 것을 여러 상황에 걸쳐 체계적으로 제시한다(Figure 4 참고). 이를 통해 당근과 오이가 각각 6개, 8개라고 해서 항상 6:8로만 나타내는 것은 아님을 알게 하고 측정 단위에 따라 3:4로도 표현할 수 있음을 알게 한다. 또한 비로 표현할 때에는 수만 제시하고 단위를 함께 제시하지 않는다는 것도 명시한다. 이에 한국에서도 a:b로 표현하는 방법을 보다 구체적이고 체계적으로 제시할 필요가 있으며 특히 이후의 비례식 단원에서라도 서로 다른 종류의 양을 비교할 때에도 비로 표현할 수 있다는 것을 명시할 필요가 있다.

비율과 관련하여 한국은 서로 같은 종류의 양뿐만 아니라 서로 다른 종류의 양을 비교하는 것을 포함하지만 이를 양의 종류와 상관없이 모두 하나의 수로만 표현하게 한다(예, 2시간동안 300 km를 갈 때 걸린 시간에 대한 간 거리의 비율은 300/2 또는 150). 이를 통해 학생들이 구한 수가 무엇을 의미하는지를 파악하는 데에는 어려움이 있다. 이에 비해 싱가포르는 ratio는 서로 같은 종류의 양이므로 모두 스칼라이고 rate는 서로 다른 종류의 양이므로 모두 단위량당 크기로 제시한다. 특히 rate가 단위량당 크기라는 것을 강조하기 위해 ‘단위량 당’을 강조하는 어구나 km/h와 같은 내포량 단위 등을 이용하여 표현한다. Lesh 외 (1988)는 rate에서 “unit rates”와 “non-unit rates”(p. 112)를 구분하지 않고 unit rates만 rates라는 것을 강조한다. 그들은 두 개의 외연량 사이의 관계는 모두 하나의 단위량에 대한 크기로 표현할 수 있으며 이러한 표현이 양 사이의 관계를 나타내기에 유용하다고 하였다. 한국에서는 “속력, 인구 밀도 개념 자체가 학습 요소가 아니기 때문에 ‘km/시, m/분, 명/km2’와 같은 속력, 인구 밀도의 단위를 강조하여 지도하지 않도록 한다”(MOE, 2022c, p. 248)고 지도서에 제시되어 있으나, 비율의 진정한 의미를 경험하고 양들 사이의 관계를 파악할 수 있도록 하나의 수(예, 300/2=150)가 어떤 단위량에 대한 어떤 양의 크기(예, 1시간에 간 거리 또는 시간당 간 거리)를 나타낸다는 것을 어구 등을 함께 사용할 필요가 있다.

넷째, 비, 비율, 백분율은 비례 및 함수와 연결되는 중요한 주제이므로 한 학년이나 한 단원에서 단편적으로 제시하기 보다는 여러 학년과 여러 단원에 걸쳐서 지속적이고 체계적으로 제시할 필요가 있다. 이를 통해 학생들이 비, 비율, 백분율에 대한 확장된 경험을 하도록 도와야 한다. 한국은 6학년 1학기에서 비, 비율, 백분율을 서로 연결해서 한 단원에 다루고 2학기에 비례식, 비례배분 등으로 연결한다. 이와 관련하여 Jeong (2003a)은 6학년에서 비를 도입하기 전에 비와 관련한 학습 내용을 다루지 않음을 지적하였고 Chong (2015, 2016)은 우리나라에서 비와 비례, 백분율을 지도하는 비중을 늘릴 필요가 있다고 하였다. 이에 비해 싱가포르는 각각의 주제를 독립적으로 다루고 여러 학년과 여러 단원에서 지속적으로 제시한다. 또한 한국의 비례식, 비례배분과 같은 상황은 ratio, percentage, rate에서 통합하여 제시한다. 특히 Table 5와 같이 ratio에서는 5A는 단일 상황만 다루다가 6A에서 복수 상황을 함께 다루는 것으로 확장하고, 5A에서 두 양을 대등한 관점으로 비교하다가 6A에서 ratio를 분수로 표현하여 종속 관점도 함께 다루는 것으로 확장한다. rate에서는 5B에서 단위량당 크기를 어구로 표현하다가 6B에서는 rate의 대표적인 경우인 speed를 다루면서 km/h와 같은 내포량 단위를 함께 제시하는 것으로 확장한다. 물론 한국에서도 속력을 5학년 2학기 과학 교과서에서 제시하고 있으나 이는 수학 교과서에서 비와 비율을 학습하기 이전이기 때문에 체계성 측면에서 재고할 필요가 있다(Kim, 2019). 이에 한국에서도 학생들이 비, 비율, 백분율에 대한 경험을 자연스럽게 확장해 나가도록 돕기 위한 구체적이고 체계적인 방안들을 마련해야 한다.

본 연구는 비와 비율에 대한 한국과 싱가포르의 관점을 선행 연구를 기반으로 비교 · 분석하고 각 관점에 따라 교수 · 학습 방법이 어떻게 전개되는지를 양적 추론의 측면에서 탐색하였다. 이를 통해 한국의 관점은 다른 선행연구와는 구분되는 독특한 관점을 취하고 있다는 것을 알 수 있으며 한국의 관점 내에서도 개념적으로 혼란을 야기할 수 있는 부분(예, 백분율을 비율의 표현 방법 중 하나로 보는 것)들이 있다는 것을 밝혔다. 또한 교수 · 학습 방법적인 측면에서 학생들이 비, 비율, 백분율의 진정한 의미를 충분히 경험하도록 돕기 위한 방안을 상황, 단위의 종류, 단위 사용, 양의 종류, 양의 관계, 표현의 측면에서 구체적으로 제안하였다. 이를 통해 교사, 교사교육자 및 교재 개발자 등에게 비, 비율, 백분율 대한 자료 개발 및 지도에 도움이 되는 시사점을 제공하기를 기대한다.