서론
학생의 문제 해결을 통하여 학생의 사고를 이해하고 그에 적절한 반응과 피드백을 제공하는 것은 교사에게 중요한 과제이다. 교사는 전형적인 해결 전략 이외에 학생들이 고안한 여러 가지 해결 전략을 이해하고 관련된 핵심적인 수학적 아이디어와 연결하는데 노력을 기울여야 한다(Cho et al., 2019; Choi, 2016; Common Core State Standards for Mathematics, CCSSM, 2010; National Council of Teachers of Mathematics, NCTM, 2000; Son, 2016). Jacobs 외 (2010)는 교사의 “학생의 사고에 대한 전문적인 노티싱(professional noticing of children’s mathematical thinking)”을 제안하면서(p.172), 교사는 학생의 사고에서 드러나는 수학적 아이디어에 주의를 기울이고 학생의 사고 과정과 관련된 수학에 일치하는 방식으로 반응해야 함을 강조한다. 한편, 학생들의 문제 해결에 대한 교사의 반응에 초점을 둔 선행 연구를 살펴보면, 교사가 학생들의 해결 전략을 이해하고 이에 적절한 피드백을 제공하는 것은 쉬운 일이 아니라는 것을 알 수 있다. 교사들은 주로 전형적이고 정답에 해당하는 반응에 대해서는 칭찬으로 반응하고, 오류를 보인 반응에 대해서는 계산 방법을 직접적으로 알려주어 답을 구하게 하는 모습을 드러냈다(Crespo, 2002; Milewski & Strickland, 2016). 또는, 일부 교사들은 학생들의 오류를 “막다른 길(dead ends)”로 간주하고(Son, 2016, p.50), 수업 시간에 아예 다루지 않거나 관련된 핵심 개념보다는 절차에 초점을 두어 판단하는 경향이 있다고 보고한다(Santagata, 2005; Son & Sinclaire, 2010).
한편, 분수는 수학 학습 전반에 걸쳐 제시되는 중요한 개념으로 분수 개념의 이해를 돕기 위하여 다양한 모델이 활용된다. 특히, 수직선은 수를 직선 위의 점으로 은유적으로 나타낸 모델로, 다른 수와의 관계를 통하여 분수를 하나의 수로 이해하고 크기를 비교하기에 용이하다(Lakoff & Núñez, 2000; Skoumpourdi, 2010). 미국의 공통 핵심 주 규준(CCSSM, 2010)에서는 분수를 수직선 위의 수로 이해하고 수직선에 분수를 표시하게 한다는 규준을 제시하여 분수 지도 시 수직선을 이용할 것을 강조하고 있다. 또한 수직선은 측정으로서의 분수 개념의 발달을 촉진시키고 분수의 덧셈 연산을 지도하기에 적합한 표현 도구로 인식되고 있다(Keijzer & Terwel, 2003).
하지만 수직선에서 분수 학습에 관한 초등학생들의 이해 실태를 살펴보면 학생들은 다른 분수 모델에 비하여 수직선 모델을 다루는 것을 더욱 어려워하며 수직선에 분수를 나타내고 크기를 비교하거나 연산을 수행하는데 오류 및 오개념을 드러냈다(Bobis & Bobis, 2005; Cramer et al., 2017; Hannula, 2003; Izsák et al., 2008; Kara & Incikabi, 2018; Kim & Hong, 2017; Lee, 2010; Lemmo et al., 2015). 수직선의 분수 학습이 학생들의 분수 개념 발달을 도울 수 있을 것이라는 선행 연구에도 불구하고, 실상 수직선을 다루는 학생들은 이와 같이 여러 가지 측면에서 어려움을 겪고 있다는 점은 주목할 필요가 있다. 또한 수직선에서의 분수 학습에 관한 선행 연구를 살펴보면, 학생들의 문제 해결을 분석하여 시사점을 제시한 연구가 대부분이며 교사들의 이해나 지도 방안에 관한 연구가 제한적이라는 한계가 있다.
본 연구에서는 이와 같은 이론적 배경과 선행 연구의 실태를 고려하여, 예비 초등교사들에게 수직선에서의 분수 문제에 대한 초등학생들의 문제 해결을 통해 알 수 있는 학생들의 수학적 사고와 지도 방안을 설명하게 하는 검사를 실시하고, 이를 통하여 예비 초등교사들의 이해를 살펴보고자 한다. 본 연구를 통해 분수 및 분수 모델로서의 수직선에 관한 초등학생들의 사고를 예비 초등교사들이 어떻게 이해하여 분석하는지 확인하고, 이를 통하여 분수에 관한 수직선 모델 및 초등학생들의 사고에 관한 예비교사교육에의 시사점을 얻을 수 있을 것이라 기대한다. 구체적인 연구 문제는 다음과 같다.
첫째, 수직선에 알맞은 분수 쓰기 문항의 학생 해결 전략에 대한 예비초등교사의 분석과 지도방안은 어떠한가?
둘째, 수직선에 분수 나타내기 문항의 학생 해결 전략에 대한 예비초등교사의 분석과 지도방안은 어떠한가?
셋째, 수직선에서의 분수의 덧셈 문항의 학생 해결 전략에 대한 예비초등교사의 분석과 지도방안은 어떠한가?
넷째, 수직선에서의 분수의 뺄셈 문항의 학생 해결 전략에 대한 예비초등교사의 분석과 지도방안은 어떠한가?
이론적 배경
분수의 개념적 이해와 수직선 모델
본 연구에서 예비교사들에게 제시하는 문제는 분수 문제에 대한 초등학생들의 해결 전략임을 고려하여, 분수 지식의 발달 과정을 살펴봄으로써 학생들의 분수 문제의 해결 전략을 이해하고 예비교사의 반응을 분석하기 위한 기초를 마련하였다. Heckenberg 외 (2016)에 의하면 분수 지식이 발달해감에 따라 분수 스킴(fractional scheme)이 달라지는데, 스킴에 따라 다룰 수 있는 단위의 수준(level of unit)과 그에 따른 조작(operation)이 변한다. Figure 1은 분수 지식에 관한 분수 스킴의 유형으로, 전체 내의 부분 분수 스킴(parts within wholes fraction scheme), 부분-전체 분수 스킴(part-whole fraction scheme), 부분 단위분수 스킴(part unit fraction scheme), 부분 분수 스킴(partitive fraction scheme), 반복 분수 스킴(iterative fraction scheme)이 있다.
우선, 전체 내의 부분 분수 스킴은 동일한 크기의 부분을 만드는 분할하기(partitioning)의 조작이 가능하지만, 분할한 부분을 따로 떼어내어 전체와 비교하는 분리하기(disembedding)의 조작은 가능하지 않다. 부분-전체 분수 스킴은 분할하기와 분리하기 조작이 가능하지만 분수를 전체 중의 부분의 개념으로만 인식하는 수준이다. 반면, 부분 단위분수 스킴은 단위분수의 반복하기(iterating)의 조작을 통하여 전체를 구성할 수 있어 더 발달된 분수 지식이 형성되기 시작하는 단계이다. 부분 분수 스킴은 단위분수를 반복하여 진분수량을 만들 수 있는 수준이고, 반복 분수 스킴은 진분수뿐만 아니라 가분수도 만들 수 있는 수준이다. 반복 분수 스킴의 학생은 단위분수, 단위분수가 파생된 전체, 분수 그 자체의 세 수준의 단위를 조정할 수 있으며, 측정으로서의 분수 개념을 이해했다고 할 수 있다. 이와 같은 분수 스킴을 발달시키기 위해서는 분할하기, 분리하기, 반복하기 등의 조작을 수행하고, 단위분수를 측정 단위로 하여 진분수, 가분수, 대분수 등의 분수를 이해할 수 있어야 한다. 이 때, 수직선은 측정으로서의 분수 개념의 이해를 도울 수 있는 유용한 도구가 될 수 있다(Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007; Olive, 2011; Tunç-Pekkan, 2015). Charalambous와 Pitta-Pantazi (2007)는 수직선에서 0으로부터의 거리를 알기 위하여 단위분수를 사용하거나, 수직선에 분수를 나타내거나, 수직선의 점에 해당하는 분수를 알아내거나, 단위를 분할하는 활동들을 성공적으로 수행하기 위해서는 앞서 분수 스킴과 관련된 여러 가지 조작과 여러 수준의 단위에 대한 이해가 필요하다고 설명하다. 또한, Olive (2011)에 따르면, 0, 2/6, 1이 표시된 수직선에서 5/6의 위치를 나타내는 활동에서 한 학생이 0과 2/6사이의 거리를 반으로 나눈 0부터 1/6사이의 거리를 측정 단위로 하여 1에서 0의 방향으로 1/6만큼 떨어진 거리에 해당하는 점에 5/6를 나타낸 활동을 소개하면서, 수직선에서 이와 같은 활동을 통하여 학생이 1/6, 2/6, 1 또는 6/6의 세 수준의 단위를 사용할 수 있었다고 보고한다.
비록 일부 연구에서는 다양한 분수 개념을 학습하기 위한 학생들의 활동이 시각적 표현에 의존하지 않으며(Norton & Wilkins, 2012), 수직선이 측정으로서 분수 개념을 이해하기 위한 유일한 도구가 될 수 없다(Tunç-Pekkan, 2015)는 주장이 제기되기도 한다. 하지만, 본 연구에서는 수직선 표현이 단위가 반복되고, 반복되는 단위가 분할되어 분수를 나타냄으로써 다양한 수준의 분수를 다룰 수 있다는 점, 연속되는 단위 사이의 시각적 분할이 없기 때문에 여러 가지 분수를 단위분수의 배로서 이해하는데 효과적이라는 점, 수직선의 특정 위치가 수치적 의미를 가지기 위해서는 최소한 2개의 참조점의 정보가 제공되어야 한다는 점을 고려하여, 앞서 살펴본 분수 스킴을 개발하는데 수직선이 효과적인 모델이 될 수 있다고 판단하였다. 이상에서 살펴본 학생들의 분수 개념의 발달 과정과 수직선 표현의 유용성을 바탕으로, 수직선을 이용한 분수 문제에 대한 초등학생들의 해결 전략을 예비 초등교사들이 어떻게 이해하고 해석하는지 살펴보는 것은 의미 있을 것이다.
수직선을 활용한 분수 문제에서의 초등학생들의 이해
초등학생들이 수직선에서 분수 문제를 어떻게 해결하는지 살펴본 선행 연구를 분석한 결과, 다음과 같이 초등학생들의 이해 실태를 요약할 수 있다. 단, 이 때 수직선에서의 분수 문제는 분수 개념과 분모가 같은 분수의 덧셈과 뺄셈에 관한 수직선 문제로 한정하였다.
첫째, 학생들은 분수의 다른 모델에 비하여 수직선에서 분수 문제를 해결하는데 어려움을 겪는다. 예를 들어, Tunç-Pekkan (2015)은 분수 스킴 이론을 기반으로 원, 직사각형, 수직선의 세 가지 표현을 사용한 6가지 유형의 문항을 개발하여 미국의 4학년과 5학년 학생 656명에게 해결하게 하였다. 연구 결과, 전반적인 문제 유형에서 수직선 표현에 대한 정답률이 원과 직사각형 표현에 비하여 더 낮게 나타났다. 유사한 맥락에서, Kim과 Hong (2017)은 초등학교 1학년부터 6학년까지의 학생들을 대상으로 수 트랙 및 그림, 수직선에서의 해결 과정을 살펴보았는데, 연구 결과 학생들은 분수의 크기, 분수의 뺄셈, 분수의 크기 비교 등을 수 트랙이나 막대 그림으로 표현하여 해결하는 반면, 수직선으로 표현하여 해결하는데는 어려움을 드러냈다.
둘째, 학생들은 수직선에 제시된 정보를 해석하여 분수를 나타내는데 어려움이 있었다. Cramer 외 (2017)는 초등학교 3학년 학생들이 분수 표현으로서 수직선을 사용하는 과정에서의 오개념을 분석하였는데, 학생들은 수직선에 제시된 범자연수 0, 1, 2를 단위의 개수로 이해하지 못하거나 2/2나 3/3과 같은 분수가 수직선에서 자연수 1과 같은 위치에 있다고 생각하지 못하거나, 제시된 수직선 전체를 하나의 단위로 인식하는 등의 단위 오류(unit errors)를 드러냈다. 또한 학생들이 수직선의 단위 구간을 분수에 맞게 등분할 하여야 하는 과제에 대하여 등분할을 인식하지 못하거나 단위 구간 사이의 세로선의 개수를 잘못 제시하는 등의 분할 오류(partitioning errors)를 확인할 수 있었다. 또한 Saxe 외 (2007)에 따르면, 학생들은 수직선에 분수 및 동치분수를 나타내는 과제를 어려워하였으며 성공적인 수행을 보인 학생이라도 전체-부분으로서 분수 개념만을 이용하여 문제를 해결하는 한계가 있었다.
마지막으로, 수직선에서 분수를 이해하는데 어려움은 범자연수에 대한 이해와 관련 지을 수 있다. 예를 들어, Pearn과 Stephens (2007)에 따르면 0과 30이 제시된 수직선에 10을 바르게 나타낼 수 없는 학생들은 0, 1, 2가 제시된 수직선에 3/5을 나타내게 하는 문항에 대해서도 성공적인 수행을 드러내지 못하였다고 보고한다. Saxe 외 (2013)는 정수와 분수를 효과적으로 연결하여 지도할 수 있는 표현으로 수직선을 강조하면서 이와 관련된 수업 계열을 제시한다. 수업 계열을 살펴보면, 분수를 정수와 관련 지어 이해하게 하고 단위를 등분할 하여 분수를 나타내 보는 과정을 상세히 제시함으로써 수직선에서 분수를 어떻게 나타내는지 해석하는 경험을 지속적으로 제공하고자 한다. 이러한 연구는 Steffe (2002)가 자연수 지식이 분수 지식의 토대가 된다는 재조직가설과 유사한 맥락으로, 학생들이 분수에 관한 수직선 과제를 성공적으로 수행하기 위한 지침을 제공한다는 점에서 긍정적이지만, 분수 지도 시 수직선에서 분수를 나타내기 위해 필요한 단위 및 단위 조정 개념은 자연스럽게 발달하지 않는다는 점을(Yanik et al., 2008) 염두에 두어야 한다.
학생의 해결 전략에 대한 예비교사의 이해
교사가 학생이 고안한 해결 전략을 이해하는 것은 학생의 수학적 이해를 신장시키기 위하여 중요하며(Choi, 2020; Kilpatrick et al., 2001; Son & Hwang, 2021), 특히 예상하지 못하거나 오류가 있는 학생의 반응이라도 교사는 이를 통한 학생의 사고를 이해하고 교수학적 안내를 제공할 수 있어야 한다(Shaughnessy et al., 2021). 학생의 해결 전략에 대한 예비교사의 이해와 관련된 선행연구를 살펴보면 다음과 같다.
우선, Son (2013)은 비와 비례 문제를 해결하는 과정에서 드러난 학생들의 오류를 예비교사들이 어떻게 해석하고 반응하는지 살펴보았다. 분석틀은 5가지 측면으로 구성되었는데, 학생의 반응에 대한 초점, 교사 반응의 형태, 교수학적 행동 유형, 학생 오류 활용 정도, 의사소통의 장애로 구분되었다. 구체적으로 살펴보면, 학생의 반응에 대한 초점은 개념적 측면과 도구적 측면으로, 교사 반응의 형태는 교수 중심과 학생 중심으로, 교수학적 행동 유형은 다시 설명하기, 인지적 갈등 유발하기, 학생 사고를 증명하게 하기로, 학생 오류 활용 정도는 적극적 활용, 중간 활용, 거의 활용하지 않음으로, 마지막으로 의사소통의 장애는 과도한 일반화, 망각과 연결, 기본으로 돌아가기로 구분하여 교사 반응을 분석하였다. 연구 결과, 예비교사들은 학생들의 개념적 이해보다 절차적 측면에 초점을 맞추어 오류를 분석하였으며, 이는 개념적 지식이 풍부한 예비교사들이라도 학생에 대한 지도 방안을 제시할 때 절차적 측면에 초점을 맞추는 모습을 드러냈다.
Sunwoo와 Pang (2020)은 학생의 수학적 사고에 반응하기(respond)의 중요성을 토대로, 예비 초등교사들이 자연수의 사칙연산에 대한 초등학생의 해결 전략에 어떻게 반응하는지를 5가지 하위 요소로 세분하여 살펴보았다. 즉, 예비교사들의 반응을 주요 수학적 요소에 대해 반응하기, 학생의 수학적 사고에 대한 이해와 추론을 토대로 반응하기, 학생의 수학적 신장을 도모하는 반응하기, 타당한 근거를 토대로 반응하기, 학생의 향후 전략을 고려하여 반응하기로 구분하였는데, 연구 결과, 예비교사들은 학생의 해결 전략의 주요 수학적 요소를 이해하고 해결 전략을 추론할 수 있는 반면 피상적 수준에서 지도 방안을 언급하거나 향후 전략을 제시하지 못하는 것을 알 수 있었다.
선행 연구들의 학생들의 해결 전략에 대한 예비교사들의 반응을 분석한 결과를 살펴보면 예비교사들은 학생들의 반응에서 수학적 요소에 초점을 맞출 수 있었지만 절차적 측면에 강조를 두거나 지도 방안 제시에서 미흡한 모습을 확인할 수 있었다. 본 연구에서는 수직선 분수 과제라는 특정한 내용 영역 및 분수 모델에 초점을 맞추어 예비교사들의 반응 및 지도 방안 제시가 어떠한 양상을 띠는지 살펴봄으로써, 예비교사교육을 위한 시사점을 찾고자 한다.
연구 방법
연구 방법 개관 및 연구 대상
연구를 실행하기 위하여 질적 사례의 연구 방법을 사용하였다(Creswell & Poth, 2017). 그 이유는 첫째, 본 연구는 예비 초등교사들이 분수 수직선 문제 해결 과정에서 드러난 초등학생들의 사고와 그에 따른 지도 방안을 어떻게 제시하는지 상세히 살펴보는 것이 목적이므로 사례 연구가 적합하다. 둘째, 예비교사들이 초등학생들의 오류 반응을 분석하고 지도 방안을 제시한 국내 선행 연구가 미미하다는 점을 고려하여 이에 대한 기초 연구를 제공할 수 있다는 측면에서 사례 연구를 택하였다.
본 연구의 대상은 초등교사 교육 프로그램을 제공하는 한 대학교의 초등수학교육과 관련된 강좌에 한 학기 동안 참여한 64명의 3학년 학생들로, 연구 대상인 예비교사들은 대부분 교생 실습을 나가지 않은 상태였다. 해당 강좌에서는 2015 개정 초등학교 수학과 교육과정의 내용 영역 중 수와 연산에 초점을 두어 관련된 이론과 교과서 분석을 실시하였다. 또한 본 연구에서 초점을 두고 있는 분수 학습에서의 수직선 모델과 관련하여서는 분수의 여러 가지 모델 중 하나로 살펴보았으며, 본 연구에서 개발한 검사지의 문항 내용에 대해서는 수업 시간에 별도로 다루지 않았다. 본 연구에서는 초등학생의 문제 해결에 대한 예비교사들 각각의 반응을 하나의 사례로 하여 분석하였는데, 연구 대상인 예비교사가 64명이기 때문에 다소 많을 수 있지만 예비교사들이 분석한 초등학생들의 문제 해결과 그에 따른 지도 방안을 다양한 측면에서 이해할 수 있다는 점에서 의의가 있다고 판단된다. 연구 대상인 예비교사들을 PST1~PST64로 지정하여 사례에 대한 이해를 높이고자 한다.
검사 도구
초등학생들의 분수 수직선 문제의 해결 전략을 예비 초등교사들에게 제시하고 이를 통해 알 수 있는 학생들의 수학적 이해와 지도 방안을 제시하도록 검사 도구를 구성하였다. 검사 문항의 내용은 Cramer 외 (2017)와 Kim (2022)에서 제시된 초등학생의 사례로, 수직선에 알맞은 분수 쓰기, 수직선에 분수 나타내기, 분수의 덧셈, 분수의 뺄셈 문제에서 오류를 드러낸 초등학생들의 해결 전략으로 구성하였다(Table 1 참조).
문항별 내용 및 관련된 학생 반응을 살펴보면, 우선 수직선에 알맞은 분수 쓰기 문항의 경우 0과 1, 또는 1과 2 사이에 있는 각각의 세로선 밑에 1/2, 2/2, 1 1/2, 1 2/2 의 분수를 나타냈다. 이는 해당 위치의 분수를 정할 때 단위 구간 사이의 동일한 간격의 수가 아닌 세로선의 개수를 세어서 분모를 2로 나타낸 분할 오류를 드러내며, 2/2와 1, 3/3과 1이 수직선에서 같은 점에 위치한다는 것을 이해하지 못하고 있을 것이라 유추된다. 다음으로 수직선에 분수 나타내기 문항의 경우, 수직선의 세로선 밑에 제시된 자연수 1, 2, 3을 각각 1/4,2/4,3/4 으로 바꾸거나, 3을 3/4으로 해석하여 나타냈다. 이는 수직선을 전체로 보고 4의 3/4에 해당하는 3을 3/4으로 해석한 것으로 수직선의 단위가 1임을 알지 못하는 단위 오류에 해당한다.
분수의 덧셈에 관한 문항을 살펴보면, 3/5 + 4/5 를 수직선에 표현하고 해결하는 문항에 대해 수직선에 3/5,4/5,1 2/5 를 각각 나타내고, 수직선 아래 3/5 + 4/5 = 1 2/5수식를 제시하였다. 이는 분수의 덧셈을 수식으로 해결할 수 있지만 수직선에는 표현할 수 없다는 것을 드러낸다. 또한, 분수의 덧셈 3/5 + 4/5에서 4/5를 1/5이 4인 것으로 이해하여 3/5에 4/5를 더하기 위해서는 3/5으로부터 1/5씩 4번 가야 한다는 것을 이해하지 못하고 있을 것이라 예상할 수 있는데 이는 측정으로서의 분수 개념과 연결된다. 마지막으로, 분수의 뺄셈 문항을 살펴보면, 수직선의 빈칸에 각각 2/3, 7/3, 5/3를 채워 넣고 7/3 - 5/3 = 2/3라는 뺄셈식을 나타냈다. 이를 통해 학생이 단위 구간의 등분할을 통하여 분수의 분모를 3으로 정할 수 있으며, 7/3과 5/3의 크기를 이해하고 있지만, 수직선에서 화살표의 방향과 연산의 의미를 이해하지 못하여 알맞은 뺄셈식을 나타내지 못하였고, 2/3를 통해 수에 대한 양감이 부족하다는 것을 알 수 있다.
또한 Figure 2와 같이 각 문항마다, 예를 들어 “초등학교 4학년 학생 민주와 승희는”과 같이, 4학년이라는 학생들의 학년 수준과 가상의 학생 이름을 제시하여 실제 수학 수업에서 마주칠 법한 상황임을 인지할 수 있도록 구성하였다. 또한 예비교사들의 이해를 살펴보기 위한 의도로, 각 문항마다 공통적으로 학생의 해결 전략에 대한 분석과 지도 방안 제시에 관한 하위 질문을 2가지씩 제시하였다. 구체적으로, 첫 번째 하위 질문은 예비교사들이 학생들의 문제 해결을 살펴보고 학생들이 아는 것, 모르는 것, 오개념 등을 어떻게 분석하는지 살펴보기 위함이고, 두 번째 하위 질문은 예비교사들이 추가적인 지도 방안을 어떻게 제시하는지 살펴보고자 하는 목적으로 구성하였다.
자료 수집 및 분석 방법
본 연구에서는 64명의 예비 초등교사들을 대상으로 초등수학교육론 수업 후반부에 검사 도구를 통한 검사를 시행하고 자료를 수집하였다. 강의 중반부에 예비교사들은 2015 개정 수학과 교육과정에 따른 초등학교 수학 교과서에서 분수 개념 및 연산에서 다루어 지는 수직선 모델을 살펴보았기 때문에 분수 학습과 관련하여 교과서에서의 수직선의 도입 시기 및 활용 방법에 대해 어느 정도 인지한 상태이다.
검사 도구의 문항 구성에 따라 예비 초등교사들의 반응은 학생들의 해결 전략 분석과 지도 방안 제시로 구분하여 Table 2와 같이 살펴보았다. 우선 예비교사들이 설명한 학생들의 해결 전략과 관련하여 학생들이 아는 것과 모르는 것으로 구분하였고, 아는 것과 모르는 것으로 분류하기에 모호한 설명은 “기타”로 구분하였다. 또한 예비교사들의 설명에서 전반적인 핵심 내용이 거의 유사한 경우 이를 각각으로 구분하여 제시하지 않고 하나로 나타내었다. 예를 들어 “수직선에서 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 수가 커진다”와 “수직선에서 오른쪽에 있는 수가 더 큰 수이다”의 경우 전자의 설명만을 제시하였다. 지도 방안과 관련하여서는 예비교사들이 설명하는 지도 방안을 특징별로 구분한 뒤 예비교사들의 설명을 특징에 따라 상세히 제시하였다. 이러한 과정을 거쳐 본 연구 대상의 예비교사들의 모든 반응을 연구 결과에 포함하였는데, 이 때 예비교사들의 사례수가 많음에도 질적으로 분석하여 각 반응에 대한 빈도수를 제시하지 않았다는 한계가 있다.
연구 결과
수직선에 알맞은 분수 쓰기 문항에 대한 예비교사의 분석과 지도방안
예비교사들은 문항 1에서 민주와 승희의 해결 전략을 분석하고 민주와 승희가 아는 것과 모르는 것에 대하여 Table 3과 같이 설명하였다. 예비교사마다 구체적인 반응은 차이가 있지만 예비교사들이 민주와 승희의 해결 전략에 대하여 설명한 내용을 요약하면 Table 3과 같이 정리할 수 있다. 구체적으로, 예비교사들은 민주의 해결 방법에서 0과 1/2,1/2과 2/2, 1과 1 1/2, 1 1/2과 1 2/2사이에 밑에 비슷한 크기의 ︵표시가 되어있는 것에 주목하여 민주가 인접한 틱마크 사이의 거리가 서로 같다는 것을 이해하고 있다고 설명하였다. 또한 1/2과 2/2를 0과 1 사이에 위치시킨 것에 대하여 민주가 진분수의 개념을 이해하고 있다고 유추하였으며, 민주가 수직선에서 왼쪽부터 오른쪽으로 1/2, 2/2, 1 1/2, 1 2/2를, 승희가 1/3, 2/3, 3/3을 나열한 것을 통하여 학생들이 수직선에서 오른쪽으로 갈수록 분수의 크기가 커진다는 것을 알고 있다고 설명하였다.
한편, 예비교사들은 민주가 수직선에서 2/2와 1, 1 2/2와 2 사이에는 ︵ 표시를 하지 않았고 이러한 분수와 자연수를 수직선의 다른 위치에 각각 나타낸 것에 대하여, 민주가 2/2 = 1, 1 2/2 = 2의 관계를 이해하지 못하고 있다고 유추하였다. 또한 민주가 분모가 2, 승희는 분모가 3인 분수를 나타낸 것에 대하여 단위 구간 사이에 있는 틱마크의 개수를 분모로 생각하는 오개념을 가지고 있다고 설명하였다. 이와 같이 예비교사들은 민주와 승희의 문제 해결에서 관찰할 수 있는 사실을 통하여 해당 학생들의 이해 정도를 분석하는 모습을 확인할 수 있었다. 다만, 일부 예비교사들은 민주와 승희가 수직선 한 칸의 크기를 각각 1/2과 1/3로 잘 이해하고 있다고 설명하거나 전체 수직선의 길이를 살펴보지 않아서 발생한 문제라고 설명하였는데, 실제 민주와 승희가 다룬 수직선 한 칸의 크기는 각각 1/3, 1/4이기 때문에 잘못된 해석이고, 수직선의 길이를 살펴보지 않았다는 설명은 민주와 승희의 문제 해결을 이해하기에 다소 포괄적이고 구체적이지 못하다고 판단된다. 또한 예비교사들 가운데 민주와 승희의 문제 해결에 대해 n/n(n=자연수)이 1과 다르다는 오개념을 가지고 있거나 자연수 a를 an/n형태로 나타내지 못한다는 해석을 제시한 경우도 있었는데, 이와 같은 예비교사의 분석은 민주와 승희의 해결 전략을 통하여 직접적으로 알 수 있는 사실이 아니므로 지나친 일반화에 해당한다고 할 수 있다.
다음으로, 예비교사들은 민주와 승희의 학습을 돕기 위하여 다양한 지도 방안을 제시하였고, 내용에 따라 수직선에서 분수 표현, 틱마크와 단위 구간 분할의 관계, 자연수와 분수의 관계로 구분할 수 있었다(Table 4 참조). 우선 수직선에서 분수를 표현하는 것에 관한 지도 방안과 관련하여, 일부 예비교사들은 승희와 민주의 오류 및 오개념을 직접적으로 교정하기보다는 해당 학생들의 어려움의 원인이 수직선으로부터 발생한 것이라 판단하고 수직선의 의미나 수직선에서 분수를 나타내는 방법에 대한 활동 및 발문을 제시한다는 설명을 하였다. 예를 들어, PST14는 Figure 3과 같이 띠막대와 연결하여 수직선에서 분수를 어떻게 나타내는지에 대한 추가적인 활동 및 발문과 관련된 지도 방안을 제시하였다.
일부 예비교사들은 분수의 분모를 단위 구간에 있는 틱마크의 개수로 인지하는 오개념을 극복하기 위하여, 틱마크에 1을 더한 값이 분모가 된다는 것을 교사가 설명하거나, 학생들에게 수직선의 단위 구간을 직접 분할하고 분수로 나타내어보게 함으로써 틱마크와 단위 구간 분할의 관계를 학생들 스스로 발견할 수 있게 하는 지도 방안을 제시하였다. 한편, n/n = 1로 일반화하거나 약분을 도입한다고 설명하는 교사들도 확인할 수 있었는데, 이는 학생들의 인지적 수준이나 초등학교 수학과 교육과정에 대한 이해가 부족함을 보여준다.
예비교사들은 2/2 = 1과 같은 분수와 자연수의 관계를 지도하기 위한 방안으로, 수직선에서 단위 구간 안에 단위분수가 몇 개 포함되는지 세어보는 활동을 제시하거나, 수직선이 아닌 다른 분수 모델을 이용하여 분수와 자연수의 관계를 지도하는 활동을 구상하였다. 예를 들어, Figure 4와 Figure 5는 2/2 = 1의 관계에 대한 학생들의 이해를 돕기 위하여 각각 피자 그림과 비커에 물 붓기 활동을 이용한 지도 계획이다. 피자는 분수 지도 시 많이 활용되는 친숙한 소재이고 비커에 물 담기 활동은 조작 활동이라는 측면에서 학생들의 흥미와 수준을 고려했다고 할 수 있다. 다만, 주의할 점은 해당 문항에서 선미와 승희가 드러난 오개념 및 오류가 수직선에서 발생한 것이라는 점이다. 따라서 이와 같은 예비교사들의 지도 방안이 학생들이 분수와 자연수의 관계를 이해하는데 어느 정도 도움이 될 수 있겠지만, 수직선에서 드러난 오류를 교정하는데 직접적으로 관련이 되지 않는다고 판단된다. 다수의 예비교사들이 수직선 이외의 다른 분수 모델을 활용하여 민주와 승희의 오개념 및 오류를 교정하고자 했다는 것은, 예비교사들이 수직선에 주목하지 못하였거나 예비교사들에게도 수직선이 익숙한 분수 모델이 아닐 수 있다는 것을 유추할 수 있다.
수직선에 분수 나타내기 문항에 대한 예비교사의 분석과 지도방안
0, 1, 2, 3, 4가 표시된 반구조화된 수직선에 3/4을 나타내는 문항에 대한 주하와 인호의 문제 해결 전략과 관련하여, 예비교사들은 Table 5와 같이 주하와 인호가 아는 것과 모르는 것을 설명하였다. 다수의 예비교사들은 주하가 수직선의 1, 2, 3의 숫자 밑에 분수의 가로선과 분모를 의미하는 /4를 나타내어 1/4, 2/4, 3/4으로 나타낸 것과 인호가 3에 ○ 표시를 한 것에 대하여 주하와 인호가 전체-부분으로 분수를 이해하고 있다고 해석하였다. 또한 수직선의 0과 1 사이에 3/4을 나타내지 못한 것에 대하여 3/4에 대한 양감이 부족하고, 3/4이 0과 1 사이에 있는 수라는 사실을 인지하고 있지 못하다고 지적하였다.
일부 예비교사들은 주하와 인호가 3/4을 1/4이 3인 것으로 알지 못한다고 설명하였는데, 이와 같이 3/4을 단위분수의 배로 이해하는 것은 수직선에서 여러 가지 분수 및 분수의 연산을 표현하는데 유용하다. 다만, 주하와 인호가 3/4을 수직선에서 3의 위치에 나타낸 것으로 보아 1/4을 수직선에 나타내도록 했을 때에도 1의 위치에 나타낼 가능성을 배재할 수 없으므로 이와 같은 예비교사의 해석이 주하와 인호가 가진 오개념과 직접적으로 연결된다고 할 수 없다.
한편, 예비교사들 가운데 주하가 반구조화된 수직선을 다루어본 경험이 없어서 제시된 수직선의 단위 구간을 분할할 수 있다는 점을 인지하지 못하였고 이에 수직선에 있는 1, 2, 3을 1/4, 2/4, 3/4으로 바꾸었을 것이라고 설명하는 반응도 확인할 수 있었다. 또는, 주하의 문제 해결은 창의적인 방법으로 오류를 찾을 수 없으며 다만 수직선에서 4 밑에도 /4의 표시를 하지 않은 점이 아쉽다는 반응을 드러낸 예비교사들도 있었다. 이와 같은 분석은 예비교사들이 주하의 문제 해결에서 수직선의 단위인 1이 드러나지 않았으며 3/4을 0과 1 사이에 표시하지 않았다는 점에 주목하지 못하였음을 드러내는 해석이라고 판단된다.
이 밖에도 예비교사들은 주하와 인호가 3/4이 전체의 75%를 차지한다는 사실을 알고 있다고 해석하거나, 3/4의 의미는 이해하고 있지만 3/4을 수로 나타내지 못한다고 해석하기도 하였다. 또한 분수에 대한 개념이 부족하다고 설명하거나 분수를 표현하는데 오개념이 있다고 설명하는 반응도 확인되었다. 이와 같이 예비교사들은 다양한 측면에서 주하와 인호의 문제 해결을 분석하고자 하였으며, 대부분 분수의 의미나 수직선에서 단위와 관련지어 학생의 오개념 및 오류를 설명하고자 하였다. 다만, 일부 예비교사의 경우 문항의 내용을 바꾼 주하의 문제 해결을 긍정적으로 해석하거나 과도하게 일반화하여 설명하거나 피상적으로 설명하는 모습을 발견할 수 있었다.
한편, 예비교사들이 제시한 주하와 인호의 학습을 돕기 위한 지도 방안은 크게 수직선의 단위, 3/4의 크기, 기타로 구분할 수 있었다(Table 6 참조). 우선 수직선의 단위에 대한 지도 방안을 제시한 예비교사들은 주하와 인호가 수직선에서 단위가 1이 된다는 것을 이해하지 못하여 오류를 범하였다고 판단하고 학생들에게 수직선의 단위는 1이며 단위 구간을 4등분하면 4/4 = 1의 관계를 가진다는 점을 강조하고자 하였다. 또한 학생들이 수직선에 제시된 1, 2, 3, 4를 단위분수의 배로 이해하고 각각 4/4, 8/4 (1 4/4 ), 12/4(2 4/4), 16/4 (3 4/4)이 될 수 있다는 것을 지도함으로써 3/4을 수직선의 3에 나타내는 오류를 교정하는데 도움이 될 수 있다고 설명하였다.
일부 예비교사들은 3/4의 크기가 1보다 작다는 점을 학생들이 이해할 수 있도록 하는 지도 방안을 제시하였다. 즉, 3/4이 0과 1 사이의 수인 진분수라는 점을 강조하여 수직선에서 0과 1 사이에 3/4을 표시할 수 있도록 지도하고자 하였다. 예를 들어, Figure 6과 같이 예비교사들은 크기가 1인 수직선에서 3/4을 표시해보고 점차 수직선을 확장함으로써 학생들이 수직선의 크기에 상관없이 3/4의 위치는 항상 0과 1 사이라는 점을 이해하고 기존에 나타냈던 3과 크기를 비교할 수 있도록 계획하였다. 또한 일부 예비교사들은 이러한 활동과 더불어 “3/4은 1보다 큰 수 인가요?”,“1을 분모가 4인 분수로 나타낼 수 있나요?”와 같은 구체적인 발문을 예상함으로써 학생들 스스로 3/4의 크기를 이해하고 수직선에 나타낼 수 있도록 하는 지도 방안을 제시하였다.
앞서 살펴본 민주와 승희의 지도 방안과 같이, 일부 예비교사들은 수직선이 아닌 다른 분수 모델을 활용하여 3/4의 크기가 1보다 작다는 점을 지도하고자 하였다. 이러한 지도 방안을 제시한 예비교사들은 학생들의 흥미와 이해를 높이기 위하여 원, 직사각형, 색종이, A4 용지, 퀴즈네어 막대, 피자, 초코파이 등 다양한 소재를 활용하였다. 예를 들어, Figure 7과 같이 한 예비교사는 학생들에게 피자 4판을 보여주고 이중 피자 3판과 피자 3/4판, 즉 3조각의 크기가 서로 다르다는 것을 시각적으로 확인하게 함으로써 3/4의 크기를 이해할 수 있게 한다고 설명하였다. 물론, 이와 같은 분수 모델은 학생들에게 친숙하고 3/4의 크기에 대한 이해를 도울 수 있지만, 전체를 무엇으로 보느냐에 따라 부분의 크기가 달라질 수 있다는 점을 주의해야 한다. 즉, 1을 무엇으로 보느냐에 따라 3/4이 달라지는데, 피자 1판을 1로 본다면 3조각이 3/4이 되지만 피자 4판을 1로 본다면 피자 3판이 3/4이 된다. 이와 달리 수직선에서는 1이 고정되기 때문에 3/4은 항상 0과 1 사이에 나타내어진다. 주하와 인호의 문제 해결을 살펴보면 학생들이 3에 3/4을 나타내었고, 이는 예비교사들이 지적하였듯 주하와 인호가 전체-부분 개념으로 분수를 이해하고 있다는 것을 암시한다. 따라서 주하와 인호에게 영역모델을 통한 전체-부분으로 3/4의 크기를 지도하는 것은, 이미 주하와 인호가 알고 있는 3/4의 개념과 중복될 수도 있다는 점에서 수직선에서의 3에 3/4을 나타내는 오류를 교정할 수 있을 것인지에 대하여 의문이 제기된다.
이 밖에, 앞서 주하의 문제 해결에 오류가 없다는 반응을 드러난 예비교사들은 교사가 좀 더 구체적으로 설명할 필요가 있다고 설명하였다. 또한 전체와 부분, 동수누가의 개념을 활용하여 분수를 이해하도록 돕는다는 지도 방안을 제시한 교사들도 있었는데, 이러한 지도 방안은 분수의 개념을 이해하는데 중요한 수학적 아이디어지만, 구체적인 지도 방안이 아니기 때문에 이를 실현하는데 한계가 있다고 판단된다.
분수의 덧셈 문항에 대한 예비교사의 분석과 지도방안
수직선에서 3/5 + 4/5의 분수의 덧셈을 하는 문항에 대한 지훈이의 문제 해결과 관련하여 예비교사들은 Table 7과 같이 지훈이가 아는 것과 모르는 것을 설명하였다. 예비교사들은 지훈이가 수직선에 3/5, 4/5, 1 2/5 를 각각 나타낸 것에 대하여 분수를 수직선에 나타낼 수 있으며 0으로부터의 거리가 수의 값이라는 것을 이해하고 있다고 추론하였다. 반면, 분수의 덧셈 계산과 관련하여서는 예비교사들 사이에 서로 다른 생각을 드러냈는데, 일부 예비교사들은 지훈이가 3/5 + 4/5를 수직선에 표현하지 못하고 덧셈식 3/5 + 4/5 = 1 2/5로 계산하였고 이 때 가분수 7/5은 식에 나타내지 않고 머릿속으로 대분수 1 2/5로 바꾸어 나타낸 것이라 해석하였다. 이와 다르게, 지훈이가 3/5과 4/5를 수직선에 표현하였기 때문에 3/5을 5칸 중 3칸, 4/5를 5칸 중 4칸으로 이해하고 3/5 + 4/5 를 0에서부터 7칸을 간 1에서 2/5만큼에 해당하는 1 2/5를 답으로 제시했다고 해석하는 예비교사들도 확인할 수 있었다.
지훈이가 수직선에 덧셈을 표현하지 못한 것에 대하여, 일부 예비교사들은 출발점이 0이 아닌 분수를 수직선 위에 나타내는데 어려움을 겪거나, 어디서 시작하든 4칸만큼 묶으면 4/5가 된다는 것을 알지 못한다고 추론하였다. 또한 3/5 + 4/5 를 식으로 해결하였으나 수직선에 표현하지 못하였기 때문에 분수의 덧셈을 기계적으로 이해하고 관계적으로 이해하지 못한다고 생각하는 예비교사들도 확인할 수 있었다. 일부 예비교사들은 지훈이가 4/5를 더하는 과정을 수직선에 나타내지 못한 것에 대하여 수직선의 한 칸의 크기를 1/5이라 생각하지 못할 것이라 판단하였고, 유사한 맥락에서 지훈이가 7/5을 나타내지 않은 것에 대하여 가분수 형태를 수직선에서 이해하는 것이 어려울 수 있다고 설명하기도 하였다.
지훈이의 수학 학습을 돕기 위하여 예비교사들이 제시한 지도 방안을 살펴보면, 크게 수직선에서 분수 나타내기에 대한 이해를 돕기 위한 지도 방안과 수직선에서 덧셈 표현을 돕기 위한 지도 방안으로 구분할 수 있었다(Table 8 참조). 전자와 관련하여, 예비교사들은 지훈이가 제시한 문제 해결에서 0으로부터의 거리로 3/5, 4/5, 1 2/5를 각각 수직선에 나타낸 것에 대하여, 4/5의 크기를 수직선에 다양하게 나타내어 보게 함으로써 3/5 + 4/5를 표현하는 것을 돕고자 하였다. 예를 들어, PST45는 Figure 8과 같이 수직선에서 0으로부터의 거리로서의 분수의 크기와 0에서 시작하지 않지만 ︵, ︶로 표시된 부분의 분수의 크기를 알아보는 활동을 제시하였다. 또한 “세로선 아래에 있는 3/5과 선생님이 두 번째로 표시한 3/5의 차이는 무엇일까요?”와 같은 발문을 제시함으로써 분수의 양을 항상 0으로부터의 거리로 인식하는 오개념을 극복하고자 시도하였다.
다음으로, 다수의 예비교사들은 지훈이에게 수직선에서 분수의 덧셈을 표현하는 원리를 이해시키기 위한 활동 및 과제를 제시하였다. 예를 들어, 일부 예비교사들은 수직선에서 덧셈을 표현하기 위해서는 오른쪽으로 나아가거나 화살표로 나타낼 수 있다고 설명하거나, 분수의 덧셈식을 0으로부터의 거리로 나타내고 그 자리에서부터 더해지는 분수만큼의 크기를 나타내어 마지막으로 도착한 곳이 답이 된다고 설명하고자 하는 지도 방안을 제시하였다. 또는 수직선에서의 덧셈 표현을 돕기 위하여 3/5 + 4/5 과 관련된 이동이나 움직임의 맥락을 추가로 구상하였다. 예를 들어, PST18은 다음의 인용문과 같이 마라톤이라는 맥락을 추가하여 수직선에 표현할 때 3/5에서 시작하여 4/5만큼 더 갈 수 있도록 하고, 이 과정에서 수직선의 한 칸이 1/5이라는 것을 강조하여 학생들의 이해를 돕고자 하였다.
단순히 식으로 제시하지 않고 이야기로 풀어 제시할 것 같다. 지훈이는 마라톤에 참가해 오전에는 3/5km를 달렸고 오후에는 4/5km를 더 달렸다. 지훈이는 총 몇 km를 달렸을까? 이와 같이 문제를 제시하는 이유는 연속성을 더 잘 담고 있는 표현이기 때문이다. 오후에는 오전에 달릴 거리를 초기화하고 다시 출발선(0)부터 달린다고 생각하는 것은 부자연스럽다. 이는 지훈이의 풀이과정과 비슷한데 3/5에서 4/5만큼을 더 가는 방식으로 계산하도록 시도할 필요가 있다. 혹은 단순히 기계적 계산에 머무르지 않게끔 수직선 상에서 3/5은 1/5 (구역 한 칸)이 3개, 4/5는 이 4개임을 보여주고 그렇다면 1/5이 모두 몇 개일까요? 질문하며 계산 방식도 이해하게 한다.
일부 예비교사들은 수직선에서 자연수의 덧셈과 연결하여 분수의 덧셈을 이해할 수 있도록 지도 방안을 제시하였다. 예를 들어, PST17은 3+4의 자연수의 덧셈을 먼저 수직선에 표현해보고 이를 통해 3/5 + 4/5의 분수의 덧셈을 귀납적으로 이해할 수 있도록 지도한다고 설명하였는데, 자연수의 덧셈과 분수의 덧셈 각각에서 “수직선 한 칸의 크기는 얼마인가요?”라는 질문을 통하여 자연수의 덧셈과 분수의 덧셈의 차이를 이해시키고자 하였다. 또한 예비교사들은 학생들이 분수의 덧셈을 수직선에서 표현하고 해석하는 것을 돕기 위하여 Figure 9와 같은 과제를 제공하였다. 이를 살펴보면, 분수 막대에서 3/5을 파란색, 4/5를 빨간색으로 칠하면서 3/5 + 4/5를 알아보고 각각의 분수에 해당하는 색깔을 수직선에 같게 나타냄으로써 3/5 + 4/5를 표현하는 방법을 익힐 수 있도록 하였다. 또는 수직선에 빈 칸을 제시하여 3/5 + 4/5 = 7/5(1 2/5)의 의미에 맞도록 알맞은 분수를 채우는 활동을 제시하였다. 예비교사들의 이와 같은 수직선 과제는 교과서에 제시된 수직선 표현에 비하여 분자와 분모를 모두 빈 칸으로 제시하거나 제시된 정보가 부족하기 때문에 학생들의 인지적 노력이 가중되었다고 볼 수 있다.
이 밖에도, 예비교사들은 게임이나 활동을 이용하여 학생들이 수직선 표현을 이해할 수 있도록 지도하고자 하였다. 예를 들어, PST63은 수직선 땅따먹기란 게임을 제안하였는데 분모가 같은 분수가 적힌 카드 여러 장에서 카드를 골라 수직선에 덧셈을 표현하고 결과값에 해당하는 분수의 지점이 나의 땅이 되는 것이다. 게임에서 학생들은 새로운 땅을 얻기 위해 어떤 두 수를 더해야할 지 생각해야 하고 이러한 과정에서 분수의 덧셈을 다양한 측면에서 이해할 수 있을 것이라 기대할 수 있다. 다만, 게임이나 활동을 제시한 예비교사들 대부분은 게임의 안내와 활동 설명에 치중하여 수직선에서 어떻게 분수의 덧셈을 할 수 있는지에 대한 고려가 부족하다는 한계가 있다. 이 밖에도 일부 예비교사들은 지훈이는 이미 분수의 덧셈식을 해결할 수 있는 학생이기 때문에 수직선 활동이 필요하지 않다고 설명하기도 하였다.
분수의 뺄셈 문항에 대한 예비교사의 분석과 지도방안
수직선을 보고 알맞은 뺄셈식을 쓰는 문항에 대한 다원이의 문제 해결을 살펴보면, 뺄셈식 12/3 - 5/3 = 7/3에서 와 은 바르게 나타냈지만 12/3를 2/3로 나타내는 오류를 드러냈다. 이와 관련하여 예비교사들은 다원이가 아는 것과 모르는 것을 Table 9와 같이 설명하였다. 우선, 예비교사들은 다원이가 제시한 분수의 분모가 3이라는 사실에 근거하여, 분모가 3이라는 점과 인접한 틱마크 사이의 거리가 1/3이라는 것을 알고 있다고 생각하였다. 또한 수직선에 제시된 5/3와 7/3을 가지고 7/3 - 5/3 = 2/3의 뺄셈식을 제시하였으므로 큰 수에서 작은 수를 빼는 뺄셈의 원리나, 분모가 같은 분수의 뺄셈에서 분자끼리 뺀다는 분수의 뺄셈 방법을 알고 있다고 추측하였다.
한편, 예비교사들 가운데 다수는 다원이가 12/3를 2/3로 제시한 것에 대하여 4 = 12/3 라는 관계를 알지 못하며, 더 나아가 자연수를 분수로 나타내지 못한다고 설명하였다. 또한 수직선에서 5/3와 7/3을 합한 거리를 2/3로 제시하였으므로 양감이나 분수의 크기 비교가 부족하다고 생각하였다. 또한 수직선에서 12/3에 해당하는 화살표와 5/3에 해당하는 화살표의 의미나 인식이 부족하고, 이로 인하여 수직선에서 5/3와 7/3에 해당하는 값을 먼저 채운 뒤, 이 두 분수를 이용하여 뺄셈식을 만들고, 나온 결과값 2/3를 수직선의 나머지 빈 칸에 넣었을 것이라 추측하였다.
예비교사들이 다원이의 수학 학습을 돕기 위하여 제시한 지도 방안은 크게 수직선에서의 방향성을 강조하는 지도 방안과 수직선에서 분수의 뺄셈에 대한 지도 방안으로 구분할 수 있었다(Table 10 참조). 우선, 수직선에서 방향성에 관한 지도 방안을 제시한 예비교사들은 수직선에서 화살표의 의미나 덧셈과 뺄셈의 의미를 설명하고자 하였다. 예를 들어, Figure 10을 살펴보면 PST21은 다원이에게 제시되었던 수직선에서 12/3와 5/3에 해당하는 양을 각각 ㉠과 ㉡으로 표시하고 뺄셈을 나타내기 위해서는 화살표의 방향이 ㉠→㉡이 되어야 한다는 것을 강조하였다. 한편, PST7은 수직선 상에서 오른쪽으로 향하는 화살표와 관련된 값은 (+) 기호를, 왼쪽으로 향하는 화살표와 관련된 값은 (-) 기호를 붙여, (+)4, (-)5/3와 같이 표현하는 것이 수직선에서 덧셈과 뺄셈을 이해하는데 도움이 될 것이라 설명하였다. 이와 같은 지도 방안은 다원이와 같은 학생들이 수직선에서 화살표의 방향에 주의를 기울여 덧셈과 뺄셈의 연산을 구분하고, 수직선에 제시된 표현이 7/3 - 5/3에 적절하지 않다는 것을 이해할 수 있는 기회를 제공할 수 있을 것이라 생각한다. 다만, 4 = 12/3에 관한 지도 방안이 직접적으로 제시되지 않은 점과 학생들의 인지적 수준에서 수 앞에 (+), (-) 기호를 표시하여 덧셈과 뺄셈을 강조하는 것이 적절한지에 대한 논의가 필요하다고 생각된다.
수직선에서 분수의 뺄셈에 대한 지도 방안을 제시한 예비교사들은 4 = 12/3의 관계를 이해하는 것과 수직선에서 뺄셈식을 세우는 것에 초점을 두어 지도하고자 계획하였다. 우선, 4 = 12/3의 관계를 이해하기 위하여 2/3가 1보다 큰 수인지 작은 수인지 질문하여 다원이가 해당 부분이 2/3가 될 수 없다는 것을 발견하게 하거나, 수직선이 아닌 원이나 그림, 색종이를 활용하여 4 = 12/3에 대한 이해를 돕거나 수직선에서 4 안에 1/3이 몇 개인지 질문하여 12/3가 된다는 점을 지도하고자 하였다. 또한, 학생들이 수직선에서 뺄셈식을 세울 수 있도록 수직선의 화살표 방향을 덧셈 및 뺄셈 연산과 관련 지어 설명하거나, 수직선에서 ①, ②, ③의 번호를 부여하고 차례대로 수를 채우고 이를 뺄셈식으로 나타내도록 하였다(Figure 11 왼쪽 참조). 또한 다원이가 2/3로 채워 넣었던 빈칸에 12/3를 제시하는 것과 같이 수직선에 채워야 하는 빈칸의 수를 줄임으로써, 수직선을 보고 뺄셈식을 세우는데 초점을 맞출 수 있도록 하였다(Figure 11 오른쪽 참조).
이 밖에도, 자연수의 뺄셈을 수직선과 식을 통하여 알아본 뒤, 이를 분수의 뺄셈에 적용해보는 지도 방안을 제시하거나, 덧셈과 뺄셈의 관계를 이용하여 다원이가 잘못 나타낸 2/3에 해당하는 크기가 7/3과 5/3를 더한 것과 같다는 것을 이해하고 이를 덧셈식과 뺄셈식으로 표현해보는 지도 방안을 제시하기도 하였다. 일부 예비교사들의 경우 문제를 잘 살펴보게 한다와 같이 추상적으로 설명하거나 이미 다원이는 뺄셈식 자체를 해결하는데에는 어려움이 없으므로 수직선 활동에 대한 추가적인 지도가 불필요하다는 생각을 드러내기도 하였다.
결론
본 연구에서는 초등학생들의 수직선을 한 분수의 개념 및 덧셈과 뺄셈의 문제 해결에 대한 예비 초등교사의 이해를 분석하였다. 연구 결과를 통한 결론 및 제언은 다음과 같다. 첫째, 예비교사들에게 학생들의 문제 해결 전략을 분석하고 학생들의 수학적 사고를 이해할 수 있는 기회가 제공될 필요가 있다. 본 연구를 통해 드러난 결과를 살펴보면, 예비 초등교사들은 초등학생들의 문제 해결 전략을 통하여 아는 것과 모르는 것을 다양한 수준에서 설명할 수 있었다. 대부분의 예비교사들은 학생들의 해결 전략에서 알 수 있는 사실을 근거로 아는 것과 모르는 것을 추측할 수 있었으나, 일부 예비교사들의 경우 학생들의 해결 전략을 근거로 하지 않거나 문제 해결을 통하여 알 수 있는 사실을 넘어서 학생들의 수준을 지나치게 일반화하는 모습을 확인할 수 있었다. 본 연구 대상의 예비교사들이 처음 초등수학교육을 접했으며 교생 실습의 경험이 없다는 점을 고려한다면, 예비교사들이 학생들의 해결 전략을 근거로 이해와 오류를 분석할 수 있었다는 점은 긍정적으로 해석된다. 다만, 일부 예비교사들이 제시한 “분수의 의미를 모른다.”, “분수 개념을 이해하고 있지 못하다.” 등과 같이 학생의 문제 해결에 대하여 피상적이고 지나치게 일반화한 해석은 학생의 수학적 사고를 이해하기에 다소 한계가 있다고 판단된다.
이러한 결과는 학생 오류에 대한 예비교사들의 해석과 반응에 대한 Son (2013)의 연구에서 예비교사들 다수가 학생의 직접적인 오류가 아닌 과대 해석하는 경향이 있다는 결과와 유사하다. 예비교사들의 이와 같은 경향은 학생이 당면한 어려움을 극복하는데 도움이 되지 않으며 수학적 개념을 발달시키기 위한 의사소통에 방해가 된다는 점을 고려한다면, 예비교사들이 체계적이며 효과적으로 학생들의 수학적 사고를 이해할 수 있는 노력이 필요하다. 이러한 측면에서, 교사가 학생들의 해결 전략을 통하여 수학적 사고를 이해하고자 할 때 어떠한 측면에 초점을 맞추어 어떻게 분석하는 것이 좋을지에 대해 이해할 필요가 있다. 예를 들어, 교사는 타당한 근거로 반응하거나, 학생들의 이해를 구체적으로 추론하여 반응할 수 있어야 한다(Sunwoo & Pang, 2020). 또는 절차적 이해의 측면보다는 개념적 이해의 측면에 초점을 맞출 수 있고, 학생들의 오류를 활용하는 방식으로 반응할 수 있어야 한다(Son, 2013). 교사가 학생들의 문제 해결을 이해하고 피드백을 제공하는 것이 수학 교실에서 빈번하게 이루어지는 교수·학습 과정임을 고려한다면(Shaughnessy et al., 2021), 수업 경험이 상대적으로 부족하고 학생들을 실제 접할 기회가 없는 예비교사들에게 간접적으로나마 학생들의 문제 해결 전략을 분석하고 수학적 사고를 이해할 수 있는 기회가 제공될 필요가 있다.
둘째, 예비교사들에게 다양한 분수 모델을 이해하고 수업에서 활용할 수 있는 지도 방안에 대해 논의할 수 있는 기회를 제공할 필요가 있다. 본 연구 결과, 예비교사들은 학생들의 문제 해결에서 드러난 오류를 교정하기 위한 지도 방안을 구체적으로 제시할 수 있었다. 또한 예비교사들은 전체-부분으로서의 분수 개념이 아닌 측정으로서 분수 개념을 바탕으로 학생들이 수직선에 분수를 나타내고 분수의 덧셈과 뺄셈을 할 수 있도록 돕고자 하였다. 특히, 일부 예비교사들의 사례에서 수직선에서 단위와 분할, 다른 분수 모델과 수직선의 연결, 단위분수의 배로서 분수의 덧셈과 뺄셈, 수직선의 방향성 등과 관련하여 학생들이 수직선에서 분수 학습을 돕기 위한 구체적인 활동과 발문을 제시하는 모습을 확인할 수 있었다. 분수 지식에 관한 스킴에서 단위분수의 배로 분수를 이해하고 여러 단위를 조정할 수 있는 능력이 중요함을 고려한다면, 예비교사들이 고안한 이와 같은 과제나 활동은 학생들이 부분 분수 스킴이나 반복 분수 스킴을 발달시키고 단위를 자유롭게 조정하는데 도움이 될 것이라 판단된다. 한편, 본 연구에서 일부 예비교사들은 수직선에서 드러난 오류를 해결하기 위하여 피자, 물통, 원, 직사각형 등과 같은 영역모델을 활용하는 모습을 확인할 수 있었다. 물론, 추상적인 수직선의 이해를 돕기 위하여 구체적인 표현으로부터 전환되어야 한다는 의견과 같이(Cramer et al., 2008; Yanik et al., 2008), 해당 모델들을 활용하는 것은 학생들에게 친숙하고 이해를 도울 수 있다는 이점이 있을 것이다. 다만, 주의할 점은 수직선 모델과 연결하지 않고 영역모델만을 사용하여 수직선에서 드러난 학생들의 오류를 수정하는 것은, 차후 수직선에서의 오류 가능성을 배제할 수 없다는 점이다. 여러 가지 분수 표현에 드러난 분수 지식에 관한 학생들의 이해에서, 동일한 분수 지식에 관한 문항이라도 표현에 따라 학생들의 반응이 다르다는 연구 결과를 고려한다면(Tunç-Pekkan, 2015), 예비교사들이 영역모델을 이용하여 학생들의 오류를 수정하고자 하였더라도 이를 수직선과 연결할 수 있는 추가적인 활동이나 과제를 제시할 수 있어야 할 것이다. 특히, 본 연구에서 분수에 관한 중요한 수학적 아이디어를 학생들에게 이해시키기 위하여 수직선이 아닌 영역모델을 활용하는 예비교사들의 사례가 적지 않다는 점은, 초등학생들뿐만 아니라 예비교사들에게도 수직선 모델을 통한 분수 지도가 쉽지 않을 수 있다는 것을 추론할 수 있다. 이에, 예비교사들이 분수 모델을 다양하게 이해하고 이러한 모델을 분수에 관한 수학 수업에서 어떻게 적용할 수 있을지에 대해 논의할 기회가 제공될 필요성이 제기된다. 본 연구를 통하여 예비교사들이 학생들의 수학적 사고를 분석하고 이 때 드러난 오류를 교정하기 위한 지도 방안을 다양하게 제시할 수 있다는 것을 알 수 있었다. 특히, 본 연구에서 제시한 검사 문항에서 드러난 학생들의 분할 오류나 단위 오류는 선행 연구에서 자주 보고되는 초등학생들의 수직선에서의 오류라는 점을 고려한다면, 본 연구에서 예비교사들이 이러한 오류를 이해하고 이를 바탕으로 한 지도 방안을 제시할 수 있다는 점은 매우 긍정적이라 할 수 있다. 다만, 본 연구에서 예비교사들의 실태가 다양한 수준에서 이루어졌으며, 예비교사들의 수학적 오류를 발견할 수 있었으며, 분수의 영역모델에 치중하여 지도 방안을 제시한다는 점 등은 예비교사들이 분수 지식 및 수직선 모델에 대한 내용 지식이 부족하거나 중요성을 인지하지 못했을 가능성을 시사한다. 본 연구에서 드러난 예비교사들의 이와 같은 가능성과 한계를 바탕으로 예비교사들이 분수 및 수직선에 대한 지식과 이와 관련된 학생 지도 방안에서의 전문성을 신장할 수 있는 방안을 모색하는데 도움이 되기를 기대한다.
